▪ Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία - Προκριματικός Διαγωνισμός 2013

1)Να προσδιορίσετε του μη αρνητικούς ακεραίους που ικανοποιούν την εξίσωση 

.

2) Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο με , εγγεγραμμένο σε κύκλο . Ο κύκλος τέμνει την στο και τον στο . Η τέμνει για δεύτερη φορά τον στο . Η τέμνει την στο και την στο . Τέλος,η τέμνει την στο . Να αποδείξετε ότι:

α)τα σημεία είναι ομοκυκλικά,

β)τα σημεία είναι ομοκυκλικά.

3) Να προσδιορίσετε τη μεγαλύτερη δυνατή τιμή του για την οποία ισχύει:

 

για όλους τους θετικούς πραγματικούς που ικανοποιούν την ισότητα .

4) Δίνονται στο επίπεδο διαφορετικοί μεταξύ τους κύκλοι που έχουν το ίδιο κέντρο. Στο εσωτερικό του κύκλου με τη μικρότερη ακτίνα,θεωρούμε δύο διαφορετικά μεταξύ τους σημεία . Στη συνέχεια θεωρούμε διαφορετικές μεταξύ τους ευθείες που περνάνε από το και διαφορετικές μεταξύ τους ευθείες που περνάνε από το . Όλες οι ευθείες που περνούν από το τέμνονται με όλες τις ευθείες που περνούν από το  (δεν υπάρχει ευθεία που περνάει από τα και ) και τα σημεία τομής τους δεν ανήκουν σε κάποιον από τους κύκλους. Να υπολογιστεί ο μέγιστος και ο ελάχιστος αριθμός χωρίων που δημιουργούνται από τις ευθείες και τους κύκλους και βρίσκονται μέσα στους κύκλους.

Πηγή: mathematica