Αν μια ομάδα ποδοσφαίρου σε ένα τουρνουά έχει πιθανότητα 0,1 να κερδίσει τον πρώτο της αγώνα , πιθανότητα 0,3 να κερδίσει τον δεύτερο, και πιθανότητα 0,65 να χάσει και τους δύο, ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσει έναν μόνο αγώνα;ΑΠΑΝΤΗΣΗ:
Αν τα παιγνίδια ήταν ανεξάρτητα γεγονότα, τότε η p(τα χάνει και τα 2) θα ήταν: 90%*70%=63%. Αλλά μάς δίνεται ότι αυτή η πιθανότητα είναι 65% (μεγαλύτερη από το 63%). Αυτό σημαίνει ότι τα δύο γεγονότα είναι συσχετισμένα (correlated). Εφόσον η πιθανότητα να χαθούν και τα δύο παιχν. είναι 65% και η πιθ. να χαθεί το παιγνίδι 2 είναι 70%, τότε η πιθανότητα να κερδίσει το παιγν. 1 ΚΑΙ να χασει το 2. πρέπει να είναι: 5%. Με την ίδια λογική,η πιθανότητα να χαθεί το 1 και να κερδηθεί το 2 ,πρέπει να είναι: 25%. Έτσι, απομένει ένα 5% πιθανότητα να κερδίσει ΚΑΙ τα δύο παιχνίδια. Άρα η πιθανότητα να κερδίσει "ΑΚΡΙΒΩΣ ένα" είναι 25%+5% = 30%
Καλησπέρα κ. Ριζόπουλε
ΑπάντησηΔιαγραφήΕνθυμούμενος και τελικά γνωρίζων ελάχιστα από την Θεωρία Πιθανοτήτων, στην ουσία μόνο την έννοια της πιθανότητας προσπάθησα να κάνω μία, την προσφιλή μου μέθοδο, γεωμετρική προσέγγιση του θέματος με γραφική απεικόνιση των συνόλων των δεδομένων και του ζητούμενου
και με την επιφύλαξη αν ΑένωσηΒ=ΑήΒ=ένα μόνο αγώνα
Π(ΑήΒ)`+Π(Α)+Π(Β)-Π(ΑτομήΒ)=1 =>Π(ΑτομήΒ)=Π(ΑήΒ)`+Π(Α)+Π(Β)-1 =>
Π(ΑτομήΒ)=0,1+0,3+0,65-1=0,05 (η πιθανότητα να κερδίσει και τους δύο αγώνες(?))
Συνεπώς Π(ΑήΒ)=Π(Α)+Π(Β)-Π(ΑτομήΒ)=0,1+0,3+-0,05=0,35(?)
Στην χειρότερη περίπτωση που είναι λάθος η προσέγγιση μου θα μάθω από την απάντηση σας την σωστή λύση.
Υ.Γ. Θα ήταν παράλειψη μου να μην εκφράσω την ευχαρίστηση μου τόσο για την συμμετοχή σας ως συντάκτης του blog όσο και για τον τρόπο της συμμετοχής σας
“Παραμένω ευήκοος σε οποιαδήποτε παρατήρηση/σχόλιο και πρόταση.
Στα προβλήματα θα δίνω πάντα την απάντηση ή την επιβεβαίωση ,μετά από κάποιο εύλογο χρονικό διάστημα.” , σίγουρος ότι θα δώσετε μία νέα διάσταση στο ήδη πολυδιάστατο ιστολόγιο του κ. Ρωμανίδη.
Kύριε Αλεξίου, σας ευχαριστώ καταρχάς για τα καλά και ενθαρρυντικά σας λόγια.Με τιμούν ειλικρινά!
ΑπάντησηΔιαγραφή(ελπίζω μόνο να μην κατηγορηθούμε από τους υπόλοιπους φίλους για συναδελφικό λομπισμό..:-) )
Προσεγγίσατε πάρα πολύ ωραία (και ασυνήθιστα) το πρόβλημα, το οποίο θεωρώ ,αν και μικρό και με λίγα δεδομένα,αλλά ουκ εν τω πολλώ το ευ!, ότι είναι από τα δυσκολότερα και "λεπτότερα" προβλήματα πιθανοτήτων, και καταλήξατε πολύ σωστά στο ότι
η πιθανότητα να κερδίσει και τους δύο αγώνες είναι 0,05.
Είστε πολύ κοντά στο τελικό ζητούμενο,αλλά απομένει ένας "μικρός σκόπελος"
Δίνω μια μικρή βοήθεια: Είναι τα αποτελέσματα των αγώνων ,σαν πιθανοτικά γεγονότα,ανεξάρτητα;
Ή μήπως υπάρχει συσχέτιση; Υπενθυμίζω ότι για ανεξάρτητα γεγονότα (π.χ ρίψεις νομίσματος) θα ίσχυε
ότι η πιθανότητα να χάσει ΚΑΙ τα δύο παιγνίδια είναι: 90%*70%=63%.
Aλλά εδώ έχουμε 65%. Άρα.. :-)
YΓ. Να δηλώσω ότι όταν συνάντησα αυτό το πρόβλημα, παρότι το βασάνισα επί μακρόν, δεν το έλυσα!
Από το 1973, από τον εξαγορασμένο-ξεπουλημένο αγώνα Παναθηναικού-Ερυθρού Αστέρα δεν ασχολούμαι καθόλου με το ποδόσφαιρο, έτσι ήταν "λογικό" να μου διαφύγει αυτό που ξέρει και ένα μικρό παιδί. Εκτός από την νίκη και την ήττα σε έναν αγώνα υπάρχει και η ΙΣΟΠΑΛΙΑ και αυτό πρέπει να κάνει την διαφορά του(1-0,1)*(1-0,3)=0,63. Άρα πρέπει να βρω και να τοποθετήσω το κυκλάκι με τις ισοπαλίες. Όμως επειδή τελείωσε το "επαγγελματικό ωράριο" μου και ήδη νοιώθω κουρασμένος θα επανέλθω σε 2-3 ώρες
ΑπάντησηΔιαγραφήΣυνεχίζω μετά από το “Π(ΑτομήΒ)=0,1+0,3+0,65-1=0,05 (η πιθανότητα να κερδίσει και τους δύο αγώνες(?)) και αφού το επιβεβαιώσατε, φεύγει το ερωτηματικό.
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ πιθανότητα να κερδίσει μόνο έναν αγώνα δίδεται(?) από τον τύπο
Π[(Α-Β)ή(Β-Α)=Π(Α)+Π(Β)-2Π(ΑτομήΒ)=0,1+0,3-2*0,05=0,30
P(κερδιζει 1 μονο αγωνα)=
ΑπάντησηΔιαγραφή[1-P(χανει και τους 2 αγωνες)]-P(κερδιζει και τους 2 αγωνες)=
0,35-0,05=0,3