Κυριακή 27 Ιανουαρίου 2013

▪ Η αυλή του πύργου

Στο κέντρο ενός κυκλικού οικοπέδου βρίσκεται ένας πύργος και αυτός κυκλικός. Πως μπορούμε, με μέτρηση μόνο ενός μήκους, να βρούμε το εμβαδόν της αυλής που υπάρχει γύρω από τον πύργο;
Αναρτήθηκε από στις 27.1.13
Ετικέτες ,

2 σχόλια:

  1. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ27 Ιανουαρίου 2013 στις 7:05 μ.μ.

    Χαράζουμε στην περίμετρο του μεγάλου κύκλου της αυλής ένα σημείο (Α). Δένουμε σε αυτό το σημείο (που το έχουμε σταθεροποιήσει με ένα καρφί ή κλαδί δένδρου ή όποιο αντικείμενο έχουμε εύκαιρο) ένα σχοινί και τεντωμένο και οριζόντιο το πλησιάζουμε και το ακουμπάμε ίσα-ίσα στην περίμετρο του πύργου, σημειώνουμε αυτό το σημείο (Β)(όπως κάνουν οι οικοδόμοι εμπειρικά για να βρούν την εφαπτομένη). Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ είναι πράγματι η εφαπτομένη του κυκλικού πύργου.
    Μετράμε την απόσταση των σημείων και Α και Β.
    Η ΑΒ είναι η μία κάθετος κάθετος ορθογωνίου τριγώνου με υποτείνουσα R,ακτίνα όλου του κυκλικού οικοπέδου, και η άλλη κάθετος του τριγώνου ισούται με r, ακτίνα του πύργου.
    ΑΒ=ρίζα(R^2-r^2)
    Το εμβαδόν της αυλής ισούται με
    π*ΑΒ^2=π*{ρίζα(R^2- r^2)}^2= π*(R^2- r^2)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. RIZOPOULOS GEORGIOS28 Ιανουαρίου 2013 στις 10:06 π.μ.

    Προτείνω το εξής:
    Παίρνω σαν δεδομένο ότι επιτρέπεται μόνο μία μέτρηση μήκους και καμία μέτρηση γωνίας ,αλλιώς είναι εύκολο και υπάρχουν πολλοί τρόποι.
    Επίσης θεωρώ οτι το κέντρο του πύργου (που είναι και κέντρο των 2 ομόκεντρων κύκλων (πύργος-οικόπεδο)) δεν είναι γνωστό και/ή δεν είναι προσβάσιμο.
    Άλλωστε,και γνωστο/προσβάσιμο να είναι το κέντρο Κ, τα στοιχεία r= ακτίνα πύργου και ένα άλλο οποιοδήποτε μήκος είναι 2 μετρήσεις!
    Μια καλή προσέγγιση νομίζω ότι γίνεται ως εξής.
    Φέρουμε μια τυχαία εφαπτόμενη στον πύργο ,ένα ράμα που λέμε και μείς τα μαστόρια, που μόλις εφάπτεται στον εξωτερικό κυκλικό τοίχο του πύργου και τέμνει το οικόπεδο σε δύο σημεία Α και Β (μια χορδή ΑΒ του μεγάλου κυκλου,που είναι και εφαπτομένη του μικρού,μ'αλλα λόγια).
    Στο σημείο Α γωνιάζουμε. Π.χ Με την κορδέλα/μετροταινια ενώνουμε την αρχή της με την ένδειξη 12 και δημιουργούμε τρίγωνο πλευρών 3 4 5 (κρατάει ένας σχηματίζοντας γωνία στο 7 ) .Έτσι φέρνουμε ουσιαστικά την κάθετο απο το Α στην χορδή ΑΒ'. Προεκτείνουμε την κάθετο (αν δεν τέμνει ήδη τον κύκλο) και προκύπτει το σημείο έστω Α'. Δεν έχουμε κάνει ακόμη μέτρηση κανενός στοιχείου του οικοπέδου.
    Από το Α' βάζουμε πάλι το ραμα, το κάνουμε μόλις εφαπτόμενο στο κτήριο και προκύπτει απέναντι το σημείο επί της περιφέρειας του οικοπέδου, έστω Β'.
    Το τετράπλευρο ΑΑ'Β'Β' που δημιουργήσαμε είναι λοιπόν ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με μικρή πλευρά (τις δυο χορδές Α'Α'=Β'Β= 2ρ) διπλάσια της ακτίνας ρ του κτιριου και μεγάλη πλευρά ΑΒ=Α'Β' έστω 2*α (α δηλαδή το μηκος απο τον εξωτερικο κυκλο ώς εκεί που εφαπτεται στο κτιριο έστω στο σημειο Ε).
    Ισχύει για το ορθογώνιο τρίγωνο ΕΚΜ (όπου Κ το απρόσιτο κέντρο των δυο κύκλων και Μ το μέσο του τμήματος ΑΆ, η γωνια ΚΕΑ' είναι ορθή)
    α^2+ρ^2=R^2 (R η ακτίνα του οικοπέδου που ψάχνουμε).
    Το μέσον Μ του τμήματος ΑA' μπορούμε να το βρούμε/κατασκευάσουμε εύκολα γεωμετρικά μ'έναν αυτοσχέδιο διαβήτη (μια πρόκα και ένα σπάγγο).
    Φέρουμε την προέκταση της Α'Β' προς τα έξω(με γώνιασμα πάλι 3-4-5) και παίρνουμε τμήμα ίσο με α.(πάλι με τον ''διαβήτη" χωρίς μέτρηση!) Ενώνουμε το σημείο που βρίσκουμε με το Μ και αυτό το διαγώνιο τμήμα(που κατασκευάσαμε γεωμετρικά,χωρίς μέτρηση) είναι η ακτίνα R. Μετράμε την R και.. έτοιμοι.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)