▪ Το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη

Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ’ ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ’ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.

Το τελευταίο από τα πέντε αιτήματα του Ευκλείδη ήταν το περίφημο αίτημα των παραλλήλων, σύμφωνα με το οποίο από κάθε σημείο εκτός μιας ευθείας μπορεί να διέρχεται μόνο μια ευθεία παράλληλη προς την αρχική.

Βέβαια, ως κι ο ίδιος ο Ευκλείδης είχε επιφυλάξεις για το συγκεκριμένο αίτημα το οποίο διέφερε εμφανώς από τα άλλα λόγω της λανθάνουσας αναφοράς του στο άπειρο. Έτσι, όσο μπορούσε απέφευγε να το χρησιμοποιεί στα συμπεράσματά του. Ας δούμε όμως γιατί το αίτημα των παραλλήλων παραπέμπει στο άπειρο: δύο ευθείες είναι παράλληλες αν και μόνο αν δεν τέμνονται πουθενά. όμως σε μια πεπερασμένη περιοχή του χώρου, μπορούμε να χαράξουμε περισσότερες από μια ευθείες που να διέρχονται από ένα σημείο και να είναι παράλληλες προς την ευθεία (δηλαδή να μην την τέμνουν). Συνεπώς, το αίτημα των παραλλήλων αναφέρεται εμμέσως στο άπειρο και οι μαθηματικοί έχουν κάθε λόγο να είναι επιφυλακτικοί όσον αφορά τη διαίσθησή τους για το άπειρο.

Μεταγενέστεροι μαθηματικοί, συμεριζόμενοι τις επιφυλάξεις του Ευκλείδη για το συγκεκριμένο στοιχείο του συστήματός του (το οποίο παρουσιάζεται διεξοδικά στο Στοιχεία του), προσπάθησαν να μετατρέψουν το προβληματικό αξίωμα σε θεώρημα, παράγοντάς το από τα τέσσερα άλλα αξιώματα. Αργότερα, τον δέκατο ένατο αιώνα, οι μαθηματικοί άλλαξαν τακτική και επιχείρησαν να δείξουν ότι το πέμπτο αίτημα έπεται από τα άλλα τέσσερα: για να το κάνουν αυτό, πήραν τα τέσσερα αξιώματα και την άρνηση του πέμπτου και προσπάθησαν να εντοπίσουν τυχόν αντιφάσεις. Μόνο που αντί για αντιφάσεις, ανακάλυψαν μια πολύ διαφορετική, εσωτερικά συνεπή γεωμετρία!

Η μη ευκλείδια γεωμετρία ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα από τρεις μαθηματικούς: τον κορυφαίο Κάρλ Φρήντριχ Γκάους, γνωστό και ως “πρίγκηπα των μαθηματικών”, τον Νικολάι Ιβάνοβιτς Λομπατσέφσκι και τον νεαρό Γιάνος Μπολιάι, ο οποίος όταν ανακάλυψε αυτόν τον καινούργιο μαθηματικό κόσμο έγραψε στον πατέρα του που ήταν και ο ίδιος μαθηματικός και φίλος του Γκάους: “Αυτό που ανακάλυψα είναι τόσο υπέροχο που έχω μείνει κατάπληκτος…Από το τίποτα δημιούργησα έναν καινούργιο παράξενο κόσμο”. Ο Γκάους όταν του έδειξαν τα αποτελέσματα του Μπολιάι έγραψε: “Θεωρώ ότι αυτός ο νέος γεωμέτρης, ο Μπολιάι, είναι μια πρώτης τάξεως ιδιοφυϊα”. Συγχρόνως, όμως, πληροφόρησε τον ιδιοφυή νεαρό ότι δεν ήταν ο πρώτος εξερευνητής αυτού του νέου παράξενου κόσμου. Τον είχε ανακαλύψει και ο ίδιος, αλλά είχε κρατήσει τα αποτελέσματά του κρυφά γιατί τα θεωρούσε πολύ αμφιλεγόμενα.

(Από το βιβλίο Αιχμάλωτος των Μαθηματικών, εκδόσεις Τραυλός)