▪Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής: Ερωτήσεις κατανόησης (Ι)

Kεφάλαιο 1ο: Διαφορικός Λογισμός

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

1.Ο όγκος του διπλανού ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου εκφράζεται με τη συνάρτηση $V(x) = x(2 - x)(3 - x)$. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής είναι το διάστημα:

Α. $[0, +∞)$   Β. $(0, 2)$   Γ. $(-∞, 0]$   Δ. $[2, 3]$.

2. Στο διπλανό σχήμα το μήκος του τμήματος $ΑΒ$ είναι

Α. $x$   Β. $x_2$   Γ. $x_2 - x + 1$   Δ. $x - 1 - x_2$.

3. Το εμβαδόν του διπλανού ορθογωνίου $ΑΒΓΔ$ είναι $63$. Η τιμή του $κ$ είναι

Α. $8$   Β. $2$   Γ. $-6$   Δ. $10$.

4. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης

 $f(x)=\frac{6}{2+x^2}$. 

Οι τιμές του $x$ για τις οποίες ισχύει $\frac{6}{2+x^2}>2$ είναι:

A. $x>2$   B. $-1<x<1$   Γ. $-2<x<2$   Δ.$x<-2$.  

5. Στο διπλανό σχήμα τα σημεία $Α$ και $Β$ είναι τα σημεία τομής των καμπυλών των συναρτήσεων $f(x) = ημx$ και $g(x)=\frac{1}{2}$.

Το μήκος του τμήματος $ΑΒ$ είναι:

Α. $\frac{π}{2}$   Β. $\frac{π}{3}$   Γ. $\frac{2π}{3}$  Δ. $\frac{π}{6}$.

6. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης $f$ φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Το πλήθος των διακεκριμένων λύσεων της εξίσωσης $(f(x))2 = f(x)$ είναι:

Α. $2$   Β. $3$   Γ. $4$   Δ. $5$   Ε. $6$.

7. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις δυο συναρτήσεων $f$ και $g$. Το άθροισμα $f(2) + g(2)$ είναι:

Α. $5$   Β. $4$   Γ. $3$   Δ. $2$

8. Η ευθεία $y = κ$ θέλουμε να τέμνει τη διπλανή γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ σε $4$ διαφορετικά σημεία. Τότε πρέπει:

A. $κ>-1$ B. $κ=-1$ Γ. $κ<-2$ Δ.$-2<κ<-1$.

9. Με βάση τη διπλανή γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x) = x^2 - 2x$, $A = [0, 3]$, να γράψετε τα ακρότατα της συνάρτησης $f$.

10. Για καθένα από τα παρακάτω όρια να χρησιμοποιήσετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση για να βρείτε την τιμή του ή να προσδιορίσετε ότι δεν υπάρχει.

11.i) Αν $f(x) = -3x^2$ και $f'(α) = 12$, ποια είναι η τιμή του $α$;

ii) Αν $f(x)=\frac{1}{x}$ και $f΄(a)=-\frac{1}{9}$, ποιες τιμές μπορεί να έχει ο $α$;

iii) Αν $f(x) = ημx$ και $f΄(a)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, ποιο είναι το σύνολο των τιμών του $α$;

12. Αν για τις συναρτήσεις $f$ και $g$ ισχύουν $f(3) = 4, g(3) = 2, f'(3) = -6$ και $g'(3) = 5$ να βρείτε για $x = 3$ τις παραγώγους των συναρτήσεων

α) $f +g$   β) $f -g$   γ) $f\cdot{g}$   δ) $\frac{f}{g}$.

13. Αν $h(x) = f(g(x))$ και $g(3) = 6, g'(3) = 4$ και $f'(6) = 7$, να βρείτε τον αριθμό $h'(3)$.

14. Στην πρώτη γραμμή του παρακάτω πίνακα υπάρχουν οι γραφικές παραστάσεις μερικών συναρτήσεων και στη δεύτερη γραμμή οι παράγωγοι των συναρτήσεων αυτών. 

Να αντιστοιχίσετε κάθε συνάρτηση στην παράγωγό της.