Blagoevgrad, Bulgaria
26th July - 1st August 2012
Τα θέματα του διαγωνισμού:
1η Ημέρα
1. Για κάθε θετικό ακέραιο συμβολίζουμε με τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα θετικών ακεραίων. π.χ. διότι
Ορίζουμε επίσης . Να δειχθεί ότι ο είναι ο αριθμός των τρόπων με τους οποίους μπορούμε να γράψουμε τον αριθμό σαν άθροισμα ακεραίων μεγαλύτερων του .
2. Έστω θετικός ακέραιος . Να υπολογιστεί η μικρότερη δυνατή τάξη ενός πίνακα ο οποίος έχει μηδενικά στην κύρια διαγώνιο και θετικούς πραγματικούς στις υπόλοιπες θέσεις.
3. Για ακέραιο συμβολίζουμε με την ομάδα των μεταθέσεων των αριθμών . Δύο παίκτες και παίζουν το εξής παιγνίδι: Με την σειρά επιλέγουν στοιχεία (ένα κάθε φορά) από την ομάδα . Απαγορεύεται να επιλεχθεί στοιχείο το οποίο έχει επιλεχθεί προηγουμένως. Το παιγνίδι τελειώνει όταν τα επιλεγμένα στοιχεία παράγουν την. Ο παίκτης που κάνει την τελευταία επιλογή χάνει. Η πρώτη επιλογή γίνεται από τον . Ποιος παίκτης έχει στρατηγική νίκης;
4. Έστω μια συνεχώς παραγωγίσιμη συνάρτηση η οποία ικανοποιεί την συνθήκη για κάθε . Να αποδειχθεί ότι για κάθε .
5. Έστω ρητός και θετικός ακέραιος. Να δειχθεί ότι το πολυώνυμο είναι ανάγωγο στον δακτύλιο των πολυωνύμων με ρητούς συντελεστές.
2η Ημέρα
1. Ο Albert Einstein και ο Homer Simpson παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι. Με τη σειρά, επιλέγουν ένα συντελεστή και του δίνουν μια πραγματική τιμή. Ο Albert παίζει πρώτος. Κάθε συντελεστής δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί δεύτερη φορά. Το παιχνίδι τελειώνει όταν έχουν δοθεί τιμές σε όλους τους συντελεστές.
Ο στόχος του Homer είναι να κάνει το να διαιρείται από ένα καθορισμένο πολυώνυμο και του Albert να το αποτρέψει.
(α) Ποιος από τους δύο έχει στρατηγική νίκης αν ;
(b) Ποιος αν ;
2.Ορίζουμε την ακολουθία
ως , και
Δείξτε ότι η σειρά
συγκλίνει και βρείτε την τιμή της.
3.Είναι το σύνολο των θετικών ακεραίων για τους οποίους ο αριθμός διαιρεί τον πεπερασμένο ή άπειρο;
4. Έστω ένας ακέραιος. Βρείτε όλους τους πραγματικούς αριθμούς για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί τέτοιοι ώστε
5.Έστω ένας πραγματικός αριθμός.Έστω επίσης μια αβελιανή ομάδα και ένα πεπερασμένο σύνολο τέτοιο ώστε , όπου
και
η πληθικότητα του συνόλου .
Να δείξετε ότι
για κάθε θετικό ακέραιο .
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου