▪ Το Πυθαγόρειο θεώρημα στο Βιβλίο I των «Στοιχείων»

ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ

Το Πυθαγόρειο θεώρημα στα «Στοιχεία» του Ευκλείδη αποδεικνύεται στην προτελευταία πρόταση (Πρόταση 47) του Βιβλίου I. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με A ορθή. Το τετράγωνο που κατασκευάζεται επί της ΒΓ είναι ισοδύναμο με το άθροισμα των τετραγώνων που κατασκευάζονται επί της ΑΒ και ΑΓ. Φέρουμε την ΑΖ παράλληλη στιςΒΑ, ΓΕ και τις ευθείες ΑΔ και ΘΓ. Αφού οι γωνίεςΒAΓ, ΒAΙ είναι ορθές, προκύπτει ότι τα τμήματα ΙA,ΑΓ βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Το ίδιο και τα τμήματα ΒΑ, ΑΗ. Αφού οι γωνίες ΔΒΓ, ΘΒΑ είναι ορθές, έχουμε ότι ΔΒΓ = ΘΒΑ, οπότε: ΔΒΓ + ΑΒΓ = ΘΒΑ + ΑΒΓ ή ΔΒΓ = ΘΒΓ. Αφού ΔΒ = ΒΓ, ΘΒ = ΒΑ και ΔΒΑ = ΘΒΓ, η βάση ΑΔ ισούται με τη βάσηΘΓ και το ΑΒΑ ισούται με το ΘΒΓ. Τώρα το παραλληλόγραμμο ΒΜΖΔ είναι διπλάσιο από τοΑΒΔ, και το τετράγωνο ΙΑΒΘ είναι διπλάσιο από τοΘΒΓ. Επομένως, το παραλληλόγραμμο ΒΜΖΔ είναι ισοδύναμο με το τετράγωνο ΙΑΒΘ.

Το Πυθαγόρειο θεώρημα στο Βιβλίο I των «Στοιχείων» Όμοια, αν φέρουμε την ΑΕ και τη ΒΚ μπορεί να αποδειχθεί ότι το παραλληλόγραμμο ΓΜΖΕ είναι ισοδύναμο με το τετράγωνο ΗΚΓΑ. Επομένως, το τετράγωνο ΒΔΕΓ είναι ισοδύναμο με το άθροισμα των δύο τετραγώνων ΙΑΒΘ και ΗΚΓΑ.

Από το βιβλίο της Γεωμετρίας, της Α΄ και Β΄ Λυκείου.