▪ Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού (Θ.Μ.Τ.)

ΘΕΩΡΗΜΑ

Αν μια συνάρτηση f είναι :
	●  συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β]
	●  παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και
τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ ϵ (α, β) τέτοιο, ώστε:
$f΄(ξ) = \frac{f(β)-f(α)}{β-α}$.

Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, $ξ ϵ (α,β)$ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $f$ στο $M(ξ, f(ξ))$ να είναι παράλληλη της ευθείας $ΑΒ$.

Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση 

$f(x)=\sqrt{x},   x\in[0,4]$.

Επειδή η f είναι συνεχής στο $[0,4]$ και παραγωγίσιμη στο $(0,4)$, με

$f΄(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ 

σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής, θα υπάρχει ένας αριθμός $ξ ϵ (0,4)$ τέτοιος, ώστε

$f΄(ξ) = \frac{f(4)-f(0)}{4-0}=\frac{1}{2}$. 

Για την εύρεση του αριθμού $ξ$, έχουμε:

$f΄(ξ) = \frac{1}{2}⇔\frac{1}{2\sqrt{ξ}}=\frac{1}{2}⇔\sqrt{ξ}=1⇔ξ=1$.

Από το σχολικό βιβλίο των Μαθηματικών κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου.