Μετάφραση:
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Πρέπει να αποδειχθεί ότι η ΑΒ μαζί με την ΑΓ είναι μεγαλύτερες από την ΒΓ. Διχοτομείται η γωνία Α. Επειδή στο τρίγωνο ΑΒΕ η ΑΕΓ είναι εξωτερική είναι μεγαλύτερη από την γωνία ΒΑΕ.
Επειδή όμως η γωνία ΒΑΕ είναι ίση με την ΕΑΓ, τότε και η ΑΕΓ είναι μεγαλύτερη από την ΕΑΓ. Άρα η ΑΓ είναι μεγαλύτερη από την ΓΕ. Για τον ίδιο λόγο η ΑΒ είναι μεγαλύτερη από την ΒΕ (Στο τρίγωνο ΑΕΓ η γωνία ΑΕΒ –ως εξωτερική- είναι μεγαλύτερη από την ΓΑΕ, άρα κι απ’ την ΕΑΒ). Επομένως οι ΑΒ και ΑΓ είναι μεγαλύτερες από όλη τη ΒΓ. ΜΕ τον ίδιο τρόπο αποδεικνύουμε και για τις άλλες πλευρές.
Από υπόθεση και κατασκευή: τρίγωνο ΑΒΓ, ΑΕ διχοτόμος της γωνίας Α.
Συμπέρασμα: ΑΒ + ΑΓ > ΒΓ.
▪ ΑΕ διχοτόμος της γωνίας Α, ∠ΒΑΕ = ∠ΕΑΓ (1)
▪ Στο τρίγωνο ΑΒΕ: ∠ΑΕΓ εξωτερική => ∠ΑΕΓ > ∠ΕΑΒ και ∠ΕΑΒ = ∠ΕΑΓ (από (1)) => ∠ΑΕΓ > ∠ΕΑΓ => ΑΓ > ΕΓ (2)
▪ Στο τρίγωνο ΑΓΕ: ∠ΑΕΒ εξωτερική => ∠ΑΕΒ > ∠ΕΑΓ και ∠ΕΑΒ = ∠ΕΑΓ (από (1)) => ∠ΑΕΒ > ∠ΕΑΒ => ΑΒ > ΕΒ (3)
▪ Από την πρόσθεση των (2) και (3) κατά μέλη προκύπτει πως ΑΒ + ΑΓ > ΕΓ + ΕΒ =>
▪ ΑΒ + ΑΓ > ΓΒ
▪ Στο τρίγωνο ΑΒΕ: ∠ΑΕΓ εξωτερική => ∠ΑΕΓ > ∠ΕΑΒ και ∠ΕΑΒ = ∠ΕΑΓ (από (1)) => ∠ΑΕΓ > ∠ΕΑΓ => ΑΓ > ΕΓ (2)
▪ Στο τρίγωνο ΑΓΕ: ∠ΑΕΒ εξωτερική => ∠ΑΕΒ > ∠ΕΑΓ και ∠ΕΑΒ = ∠ΕΑΓ (από (1)) => ∠ΑΕΒ > ∠ΕΑΒ => ΑΒ > ΕΒ (3)
▪ Από την πρόσθεση των (2) και (3) κατά μέλη προκύπτει πως ΑΒ + ΑΓ > ΕΓ + ΕΒ =>
▪ ΑΒ + ΑΓ > ΓΒ
Από εργασία των μαθητών: Γιώργος Ρούμελης-Ρωμανός Τζουνάκος-Διονύσης Τσαούσης-Δημήτρης Χαλκίδης.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου