Έστω ότι το πολυώνυμο
$f (x) = x^3− px + q$
έχει ρίζες τους αριθμούς $α, β, γ$. Να εκφράσετε την παράσταση
$(α − β)^2(β − γ)^2(γ − α)^2$
συναρτήσει των $p$ και $q$.
Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Recreational Mathematics, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Για τις ρίζες α, β, γ θα ισχύει:
ΑπάντησηΔιαγραφή(1): α + β + γ = 0
(2): αβ + βγ + γα = -p
(3): αβγ = -q
Από (1) και (2): α^2 + αβ + β^2 = p (4)
Η έκφραση: Ε = (α-β)^2 + (β-γ)^2 + (γ-α)^2
αν λάβουμε υπόψη τη σχέση (1), γίνεται:
Ε = 6(α^2 + αβ + β^2) και με εφαρμογή της (4):
Ε = 6p