Έστω η εξίσωση αx + βy = γ , όπου α, β, γ ακέραιοι με α, β ≠ 0. Αν αναζητούμε ακέραιες λύσεις της εξίσωσης αυτής, δηλαδή ζεύγη ακεραίων (x, y) που την επαληθεύουν, τότε λέμε ότι έχουμε να λύσουμε μια γραμμική διοφαντική εξίσωση.Μερικές διοφαντικές εξισώσεις μπορεί να έχουν πολλές λύσεις, όπως, για παράδειγμα, η 3x + 6y = 18, για την οποία μπορούμε να διαπιστώσουμε με αντικατάσταση ότι τα ζεύγη (4, 1), (-6, 6), (10, -2) είναι ακέραιες λύσεις της.Υπάρχουν όμως διοφαντικές εξισώσεις που δεν έχουν καμιά λύση.
Για παράδειγμα, η διοφαντική εξίσωση 2x + 6y = 13 δεν έχει καμιά λύση, αφού για όλες τις ακέραιες τιμές των το πρώτο μέλος της είναι άρτιος αριθμός, ενώ το δεύτερο μέλος της είναι περιττός αριθμός. Το θεώρημα που ακολουθεί δίνει απάντηση στο ερώτημα πότε μια διοφαντική εξίσωση έχει λύση, και αν έχει, πόσες είναι αυτές οι λύσεις.
ΘΕΩΡΗΜΑ
Η γραμμική διοφαντική εξίσωση αx + βy = γ έχει λύση, αν και μόνο αν ο μέγιστος κοινός διαιρέτης δ των α, β διαιρεί το γ .
Αν η εξίσωση αυτή έχει μια λύση (x0,y0), τότε έχει άπειρες λύσεις (x, y), που δίνονται από τους τύπους:
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου