▪ Η σπείρα του Αρχιμήδη (II)

Της Ειρήνης Περυσινάκη

Ας φανταστούμε ότι κάποιος που βρίσκεται σε μία περιστρεφόμενη κυκλική πλατφόρμα προχωράει ευθύγραμμα από το κέντρο προς την περιφέρεια του κύκλου. Τι σχήμα τροχιάς διαγράφει η πορεία του στο σταθερό έδαφος κάτω από την πλατφόρμα; Η απάντηση είναι μία σπείρα. 

Η σπείρα αυτή λέγεται σπείρα του Αρχιμήδη γιατί πρώτος ο Αρχιμήδης την μελέτησε. Σχεδόν εξ ολοκλήρου ασχολείται με αυτήν στη διατριβή του «Περί ελίκων». Παρατηρήστε στο διπλανό σχήμα όπου απεικονίζεται ότι το πλάτος μεταξύ δύο διαδοχικών περιστροφών παραμένει σταθερό. 

Ένα προσιτό παράδειγμα μιας σπείρας Αρχιμήδη είναι οι γραμμές σε ένα δίσκο γραμμοφώνου. Η βελόνα του δίσκου κινείται επάνω στον περιστρεφόμενο δίσκο κατά τρόπο όμοιο με εκείνον που κινήθηκε ο άνθρωπός μας επάνω στην πλατφόρμα στο παραπάνω παράδειγμα. Μάλιστα και εμείς μπορούμε σχετικά εύκολα να ζωγραφίσουμε την σπείρα του Αρχιμήδη χρησιμοποιώντας ένα γραμμόφωνο, (ή έναν οποιοδήποτε άλλο περιστρεφόμενο τροχό), ένα φύλλο χαρτί αντί για τον δίσκο και ένα μολύβι αντί για την βελόνα του γραμμοφώνου.

Δίνουμε δύο εφαρμογές της σπείρας του Αρχιμήδη στην μηχανική και τα μαθηματικά. 

1. Η σπείρα του Αρχιμήδη χρησιμοποιήθηκε σε τροχούς για να μετατρέψει την ομαλή κυκλική κίνηση σε ευθύγραμμη ομαλή. Στα παρακάτω σχεδιαγράμματα φαίνονται τέτοιες κατασκευές. Η καρδιοειδής καμπύλη σχηματίζεται από δύο συμμετρικά τμήματα σπείρας του Αρχιμήδη. Πάνω απεικονίζεται μία μηχανή που τυλίγει το νήμα ομοιόμορφα γύρω από έναν κύλινδρο. 

2. Μία δεύτερη εφαρμογή της σπείρας του Αρχιμήδη, είναι ότι μπορεί να διαιρέσει μία γωνία σε όσες ίσες γωνίες θέλουμε με αρκετά απλό τρόπο. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί ακόμα και να τριχοτομήσει μία οποιαδήποτε γωνία. Ίσως οι περισσότεροι έχουμε ακούσει για τα τρία άλυτα προβλήματα της αρχαιότητας. Ένα από αυτά είναι και η τριχοτόμηση μιας οποιασδήποτε γωνίας με κανόνα και διαβήτη. Σήμερα γνωρίζουμε ότι κάτι τέτοιο είναι αδύνατον. Μπορεί δηλαδή να αποδειχτεί ότι το «παιχνίδι» των κατασκευών με κανόνα και διαβήτη δεν επιτρέπει μια τέτοια κατασκευή. Πολλοί αρχαίοι Έλληνες επινόησαν μεθόδους τριχοτόμησης χρησιμοποιώντας άλλες καμπύλες. 

Ας δούμε εδώ πώς γίνεται η τριχοτόμηση της γωνίας χρησιμοποιώντας την σπείρα του Αρχιμήδη. Στο διπλανό σχήμα έχουμε πάρει τυχαία μία γωνία (κίτρινο χρώμα) και διαγράψαμε μια σπείρα Αρχιμήδη που διέρχεται από την κορυφή της. (μπλε καμπύλη). Έστω R το μήκος του τμήματος με άκρα την κορυφή της γωνίας και το σημείο όπου η σπείρα τέμνει την πλευρά της γωνίας. Διαγράφουμε τόξα κύκλων με ακτίνες R/3 και 2R/3. Τα σημεία τομής τους με την σπείρα ορίζουν τα σημεία τριχοτόμησης της γωνίας.