Διασκεδαστικά Μαθηματικά : ▪ Διαγωνισμός επιλογής Εθνικής ομάδας Μαθηματικών 2011

Σάββατο 16 Απριλίου 2011

▪ Διαγωνισμός επιλογής Εθνικής ομάδας Μαθηματικών 2011

ΘΕΜΑΤΑ

Πρόβλημα 1

Να προσδιορίσετε τους πρώτους θετικούς ακεραίους p και q που ικανοποιούν την εξίσωση:
p^4+p^3+p^2+p=q^2+q

Πρόβλημα 2

Θεωρούμε πίνακα Π σχήματος ορθογωνίου με διαστάσεις 10cm και 11cm. O πίνακας υποδιαιρείται με ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του σε 110 τετράγωνα πλευράς 1cm. Διαθέτουμε πλακάκια σχήματος σταυρού, που αποτελούνται από 6 τετράγωνα πλευράς 1cm, όπως δίνονται στο διπλανό σχήμα.

Να προσδιορίσετε το μέγιστο αριθμό πλακιδίων που μπορούμε να τοποθετήσουμε στον πίνακα Π, έτσι ώστε να μην έχουν επικαλύψεις μεταξύ τους και κάθε πλακίδιο να επικαλύπτει 6 ακριβώς τετράγωνα του πίνακα.
Πρόβλημα 3

Να βρεθούν οι συναρτήσεις $f,g: \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$ για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις:
$f\left( g\left(x\right)-g\left(y\right) \right)=f\left(g\left(x\right) \right) \right)-y (1)$
$g\left( f\left(x\right)-f\left(y\right) \right)=g\left(f\left(x\right) \right) \right)-y (2)$ , για κάθε $x,y \in \mathbb{Q}$ .
Πρόβλημα 4

Δίνεται τετράπλευρο ABCD εγγεγραμμένο σε κύκλο c(O,R)

και έστω K,L,M,N,S,T τα μέσα των AB, BC, CD, AD, AC και BD αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι τα κέντρα των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων KLS, LMT, MNS, και NKT ορίζουν εγγράψιμο τετράπλευρο όμοιο προς το ABCD.

Δείτε τις λύσεις των προβλημάτων εδώ .