Διασκεδαστικά Μαθηματικά : ▪ Ανισότητες για Μαθηματικές Ολυμπιάδες

Κυριακή 20 Φεβρουαρίου 2011

▪ Ανισότητες για Μαθηματικές Ολυμπιάδες

1. Για τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a, b, c, d, e και f να αποδειχθεί ότι:
      $\frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}+\frac{ef}{e+f} \le \frac{(a+c+e)(b+d+f)}{a+b+c+d+e+f}$ .
2. Έστω $a,b,c>0$   και $a+b+c=3$ . Να αποδειχθεί ότι:

$abc+\frac{17}{ab+bc+ca} \ge 5$

3. Έστω $a,b,c \ge 0$ και $a+b+c=1$ . Να αποδειχθεί ότι:

$a^3+b^3+c^3+6abc \ge \frac{1}{4}$

4. Αν $x,y,z$ είναι πραγματικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι:

$(a)\ \ \ \frac{x^2+yz}{2x^2+y^2+z^2}+\frac{y^2+zx}{2y^2+z^2+x^2}+\frac{z^2+xy}{2z^2+x^2+y^2} \ge \frac 1{6}$

$(b)\ \ \ \frac{2x^2+yz}{4x^2+y^2+z^2}+\frac{2y^2+zx}{4y^2+z^2+x^2}+\frac{2z^2+xy}{4z^2+x^2+y^2} \ge \frac 3{10}$

$(c)\ \ \ \frac{x^2-yz}{2x^2+y^2+z^2}+\frac{y^2-zx}{2y^2+z^2+x^2}+\frac{z^2-xy}{2z^2+x^2+y^2} \le \frac 7{6}$

$(d)\ \ \ \frac{x^2-yz}{3x^2+y^2+z^2}+\frac{y^2-zx}{3y^2+z^2+x^2}+\frac{z^2-xy}{3z^2+x^2+y^2} \le 1$ .

5. Έστω a, b, c θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι:

$a^{b + c} + b^{c + a} + c^{a + b}$ ≥ 1.

6. Έστω $a, b> 0$ . Να αποδειχθεί ότι:

7. Έστω $a, b, c, x, y, z > 0$ τέτοιοι ώστε $a + b + c = 4$ και $ax + by + cz = xyz$ . Να αποδειχθεί ότι:

8. Έστω $a,b,c \in \mathbb{R^+}.$ Να αποδειχθεί ότι:

9. Έστω ${x_1,x_2,x_3,x_4}\in\mathbb{R_{+}}$ τέτοιοι ώστε $x_1+x_2+x_3+x_4=4,$ να αποδειχθεί ότι:
$\frac{x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2}{4}\ge{\sqrt[7]{\frac{x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4}{4}};$