Αν αναρωτιέται κανείς από πού η σιγουριά, εξηγώ: Στο πρόβλημα δεν δίνεται καμία πληροφορία για τη θέση της κοινής κορυφής των δύο τετραγώνων σε σχέση με το κέντρο του κύκλου, γεγονός που 'υποψιάζει' ότι η συγκεκριμένη πληροφορία είναι αδιάφορη. Όταν λοιπόν η κοινή κορυφή συμπίπτει με το κέντρο, τα δύο τετράγωνα γίνονται ίσα, με πλευρά χ, άρα το άθροισμα των εμβαδών τους είναι 2χ^2 που από ΠΘ είναι ίσο με r^2=(16/2)^2=64. Αλλά και η απόδειξη για τη γενική περίπτωση δεν είναι πολύ δυσκολότερη. Κανένας εθελοντής;;🙄
Έστω χ η πλευρά του μεγάλου τετραγώνου, ψ η πλευρά του μικρού και δ η απόσταση της κοινής τους κορυφής από το κέντρο του κύκλου. Από ΠΘ έχουμε: (χ-δ)^2+χ^2=r^2 (1) και (ψ+δ)^2+ψ^2=r^2, άρα: (χ-δ)^2+χ^2=(ψ+δ)^2+ψ^2 => (χ-δ)^2-(ψ+δ)^2=ψ^2-χ^2 => (χ+ψ)(χ-ψ-2δ)=(χ+ψ)(ψ-χ) => δ=χ-ψ (2) Αντικαθιστώντας την (2) στην (1), έχουμε: ψ^2+χ^2=r^2 και με r=8: ψ^2+χ^2=64
Sans voire, στοιχηματίζω στο 64..Place your bets, please!😄
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν αναρωτιέται κανείς από πού η σιγουριά, εξηγώ:
ΔιαγραφήΣτο πρόβλημα δεν δίνεται καμία πληροφορία για τη θέση της κοινής κορυφής των δύο τετραγώνων σε σχέση με το κέντρο του κύκλου, γεγονός που 'υποψιάζει' ότι η συγκεκριμένη πληροφορία είναι αδιάφορη. Όταν λοιπόν η κοινή κορυφή συμπίπτει με το κέντρο, τα δύο τετράγωνα γίνονται ίσα, με πλευρά χ, άρα το άθροισμα των εμβαδών τους είναι 2χ^2 που από ΠΘ είναι ίσο με r^2=(16/2)^2=64.
Αλλά και η απόδειξη για τη γενική περίπτωση δεν είναι πολύ δυσκολότερη. Κανένας εθελοντής;;🙄
Έστω χ η πλευρά του μεγάλου τετραγώνου, ψ η πλευρά του μικρού και δ η απόσταση της κοινής τους κορυφής από το κέντρο του κύκλου. Από ΠΘ έχουμε:
Διαγραφή(χ-δ)^2+χ^2=r^2 (1) και
(ψ+δ)^2+ψ^2=r^2, άρα:
(χ-δ)^2+χ^2=(ψ+δ)^2+ψ^2 =>
(χ-δ)^2-(ψ+δ)^2=ψ^2-χ^2 =>
(χ+ψ)(χ-ψ-2δ)=(χ+ψ)(ψ-χ) => δ=χ-ψ (2)
Αντικαθιστώντας την (2) στην (1), έχουμε:
ψ^2+χ^2=r^2 και με r=8: ψ^2+χ^2=64