Ανισότητα Cauchy - Schwarz - Buniakowskί στα Ολοκληρώματα

Οι συναρτήσεις $f$ και $g$ είναι συνεχείς στο $[α, β]$. Δείξτε ότι ισχύει ανισότητα Cauchy - Schwarz - Buniakowskί

$\mid \int_α^β f(t)g(t)dt \mid \leq \sqrt{{\int_α^β f^{2}(t)d(t)}\int_α^β g^{2}(t)d(t)}$

Απόδειξη 

Για κάθε πραγματικό $χ$ ισχύει

 $\mid \int_α^β (f(t) - χg(t))^2dt \mid \geq 0$

$\Leftrightarrow χ^2\int_α^β (g^2(t)dt - 2χ \int_α^β (f(t)g(t))dt + \int_α^β (f(t)^2dt \geq 0$

Αυτό είναι δυνατό μόνο αν είναι η διακρίνουσα του τριωνύμου στο αριστερό μέλος αρνητική, δηλαδή αν και μόνο αν

$\big(\int_α^β f(t)g(t)dt\big)^2 \leq {\int_α^β f^{2}(t)d(t)}.{\int_α^β g^{2}(t)d(t)}$

το οποίο και έπρεπε να αποδειχθεί.

Από το Περιοδικό «Θεαίτητος»