Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 8η

 Του Αβραάμ Τσακμακίδη  (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση

$f(χ) =\begin{cases}χ^2 +\dfrac{β}{2}χ+α & χ\geq0\\\dfrac{e^χ - 1}{χ} & χ < 0\end{cases}$

1) Να αποδείξετε ότι $α = β =1$.

2) Να βρείτε την $f' (χ)$ και να εξετάσετε αν είναι συνεχής.

3) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης $(ε)$ της $C_f$ στο σημείο $(0,f(0))$ και να δείξετε ότι η $(ε)$ δεν ξανατέμνει την $C_f$.

4) Ένα σημείο $Μ(χ, ψ)$ κινείται κατά μήκος της καμπύλης $ψ = f(χ)$, $χ\geq0$. Την χρονική στιγμή $t_0$ κατά την οποία το σημείο $Μ$ διέρχεται από το σημείο $Α(2,6)$ ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου $Μ$ είναι $1cm/sec$. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της γωνίας $θ$ που σχηματίζει η $ΟΜ$ με τον $χ' χ$ την χρονική στιγμή $t_0$, όπου $Ο(0,0)$. 

5) Υπολογίστε τα όρια 

α) $\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}[f(x)ln(-χ)]$

β) $\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}[f(x)e^{-χ}]$.

Για να εκτυπώσετε την άσκηση κάντε κλικ εδώ.