Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προετοιμάζομαι για τις Πανελλαδικές - ΑΣΚΗΣΗ 8η

 Του Αβραάμ Τσακμακίδη  (3ο Λύκειο Γιαννιτσών) 

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση

$f(\chi )=\{\begin{array}{ll}{\chi }^2+{\displaystyle \frac{\beta }{2}}\chi +\alpha & \chi \ge 0\\ {\displaystyle \frac{e^{\chi }-1}{\chi }}& \chi <0\end{array}$

1) Να αποδείξετε ότι $\alpha =\beta =1$.

2) Να βρείτε την $f^{\prime }(\chi )$ και να εξετάσετε αν είναι συνεχής.

3) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης $(\epsilon )$ της $C_f$ στο σημείο $(0,f(0))$ και να δείξετε ότι η $(\epsilon )$ δεν ξανατέμνει την $C_f$.

4) Ένα σημείο ${\rm M}(\chi ,\psi )$ κινείται κατά μήκος της καμπύλης $\psi =f(\chi )$, $\chi \ge 0$. Την χρονική στιγμή $t_0$ κατά την οποία το σημείο ${\rm M}$ διέρχεται από το σημείο ${\rm A}(2,6)$ ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του σημείου ${\rm M}$ είναι $1cm/sec$. Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της γωνίας $\theta$ που σχηματίζει η ${\rm O}{\rm M}$ με τον ${\chi }^{\prime }\chi$ την χρονική στιγμή $t_0$, όπου ${\rm O}(0,0)$. 

5) Υπολογίστε τα όρια 

α) ${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}[f(x)ln(-\chi )]}$

β) ${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[f(x)e^{-\chi }]}$.

Για να εκτυπώσετε την άσκηση κάντε κλικ εδώ.