Τρίτη, 19 Δεκεμβρίου 2017

$f(0)=?$

 Αν
$f(f(x))=x^2-x+1$
 τότε
$f(0)=?$

2 σχόλια:

  1. Έστω $f(0) = a \Rightarrow f(f(0)) = f(a) \Rightarrow {0^2} - 0 + 1 = f(a) \Rightarrow \boxed{f(a) = 1}\,\,(1)$
    Έστω τώρα $f(1) = b \Rightarrow f(f(1)) = f(b) \Rightarrow {1^2} - 1 + 1 = f(b) \Rightarrow \boxed{f(b) = 1}$ άρα $f(f(b)) = f(1) \Rightarrow {b^2} - b + 1 = b \Rightarrow {(b - 1)^2} = 0$ και άρα \[\boxed{b = 1 = f(1)}\] . Τώρα όμως η $(1)$ δίδει : $f(f(a)) = f(1) \Rightarrow {a^2} - a + 1 = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
    a = 0 \hfill \\
    a = 1 \hfill \\
    \end{gathered} \right.$.
    Έστω $a = 0$, τότε $f(0) = 0 \Rightarrow f(f(0)) = f(0) = 0 \Rightarrow {0^2} - 0 + 1 = 0$ άτοπο , συνεπώς $a = 1 \Rightarrow \boxed{f(0) = 1}$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. μπορούμε επίσης όπου χ νa βάλουμε το f(x) opoy x=1 τότε f(1)=1 στην αρχική όπου χ=0 αν f(0)=0 ατοπο άρα f(0)=1 ΠΟΥ ΕΠΑΛΗΘΕΥΕΙ

    ΑπάντησηΔιαγραφή