Τρίτη, 19 Σεπτεμβρίου 2017

Να λυθεί η εξίσωση στο σύνολο των θετικών ακέραιων αριθμών

$\displaystyle x-y-\frac xy-\frac{x^3}{y^3}+\frac{x^4}{y^4} = 2017$.

B. Kovács, Szatmárnémeti
Πηγή
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

4 σχόλια:

  1. Θέτουμε Χ=α*Υ, οπότε η εξίσωση γράφεται:

    (α-1)*Υ-α-α^3+α^4=2017, ή ισοδύναμα
    (α-1)*Υ- (α-1)+α^3(α-1)=2018, και τελικά

    (α-1)*(α^3+Υ-1)=2*1009

    Επειδή ο 1009 είναι πρώτος αριθμός, έπεται ότι (α-1)=2, και (α^3+Υ-1)=1009,
    άρα α=3, Υ=983, Χ=2949

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ωραία τεχνική και ολόσωστη λύση, μπράβο Στράτο!
      Γιατί όχι όμως και α=2, Υ=2011, Χ=4022;
      Δε θα χρειαζόταν επίσης και μια εξήγηση γιατί ο α δε θα μπορούσε να είναι ρητός μη ακέραιος;

      Διαγραφή
    2. Πολύ σωστά Θανάση! το πρόβλημα έχει και τη δεύτερη λύση που αναφέρεις.
      Οσο για το ότι ο α πρέπει να είναι ακέραιος, η απόδειξη μπορεί να γίνει με άτοπο απαγωγή:
      Εστω α=μ/ν, όπου μ,ν ακέραιοι, πρώτοι μεταξύ τους. Τότε η (ακέραιη) παράσταση α^4-α^3-α γράφεται:
      (μ^4-μ^3*ν-μ*ν^3)/ν^4.
      Εφόσον η παράσταση αυτή είναι ακέραιη, ο αριθμητής οφείλει να είναι πολλαπλάσιο του παρονομαστή. Και εφ'όσον οι δύο όροι του αριθμητή διαιρούνται δια ν, οφείλει και ο τρίτος όρος (μ^4) να διαιρείται διά ν, πράγμα άτοπο καθώς οι μ,ν είναι πρώτοι μεταξύ τους

      Διαγραφή
    3. Εξαιρετικά Στράτο και νομίζω ότι είμαστε πλήρεις!

      Διαγραφή