Σάββατο, 2 Σεπτεμβρίου 2017

79 διαδοχικοί ακέραιοι

Να αποδειχτεί ότι σε κάθε ακολουθία $79$ διαδοχικών θετικών ακεραίων αριθμών, υπάρχει ένας θετικός ακέραιος του οποίου το άθροισμα των ψηφίων διαιρείται με 13.

2 σχόλια:

  1. Αν οι 79 διαδοχικοί ανήκουν στην ίδια εκατοντάδα, τότε έστω α ο μικρότερος από αυτούς που λήγει σε 0. Ο α μπορεί να είναι στη θέση 1 έως 10 το πολύ μεταξύ των 79. Λαμβάνοντας τώρα υπόψη ότι κάθε μετάβαση σε επόμενη δεκάδα της ίδιας εκατοντάδας (π.χ. 39->40, 69->70) συνεπάγεται ελάττωση του αθροίσματος ψηφίων Σ κατά 8, ενώ κάθε μετάβαση σε επόμενο αριθμό της ίδιας δεκάδας αυξάνει το Σ κατά 1, έχουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις:
    1. το Σ του α διαιρείται με το 13.
    2. το Σ του α αφήνει υπόλοιπο από 4 έως 12 στη διαίρεση με το 13, οπότε το Σ κάποιου από τους 9 αριθμούς που βρίσκονται στην ίδια δεκάδα με τον α διαιρείται με το 13.
    3. Το Σ του α αφήνει υπόλοιπο 3 στη διαίρεση με το 13, οπότε το Σ του αριθμού που βρίσκεται 19 θέσεις μετά τον α διαιρείται με το 13.
    4. Το Σ του α αφήνει υπόλοιπο 2 στη διαίρεση με το 13, οπότε το Σ του αριθμού που βρίσκεται 29 θέσεις μετά τον α διαιρείται με το 13.
    5. Το Σ του α αφήνει υπόλοιπο 1 στη διαίρεση με το 13, οπότε το Σ του αριθμού που βρίσκεται 39 θέσεις μετά τον α διαιρείται με το 13.
    Έτσι, σύμφωνα με τα παραπάνω, όταν όλοι οι αριθμοί ανήκουν στην ίδια εκατοντάδα, τότε 39 το πολύ θέσεις μετά από τον μικρότερο που λήγει σε 0 (που βρίσκεται 9 το πολύ θέσεις μετά από τον μικρότερο όλων), άρα σε κάθε περίπτωση εντός του εύρους των 79, υπάρχει αριθμός που το Σ του διαιρείται με το 13.
    Αν τώρα οι 79 μοιράζονται σε δύο διαδοχικές εκατοντάδες, τότε η μία από αυτές θα περιέχει τουλάχιστον 40 διαδοχικούς και η άλλη το πολύ 39. Στην περίπτωση που οι δύο ομάδες είναι 40+39 ακριβώς, τότε ο μικρότερος της ομάδας των 40 θα λήγει σε 0 και σε 39 το πολύ θέσεις μετά από αυτόν, δηλαδή εντός εύρους, θα υπάρχει αριθμός με Σ διαιρούμενο με το 13. Στην περίπτωση 41-38 ακριβώς, τότε ο δεύτερος μικρότερος της ομάδας των 41 θα λήγει σε 0, οπότε πάλι ο έχων Σ διαιρούμενο με το 13 θα είναι εντός εύρους, κ.ο.κ.
    Έτσι το ζητούμενο έχει αποδειχθεί (νομίζω) σε κάθε περίπτωση.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Αν τώρα αναρωτιόταν κάποιος μήπως δεν είναι απαραίτητοι οι 79 διαδοχικοί για να υπάρχει τουλάχιστον ένας ανάμεσά τους με άθροισμα ψηφίων διαιρούμενο με το 13, τότε αρκεί να βρούμε ένα αντιπαράδειγμα που να μας δείχνει ότι οι 78 δεν αρκούν. Τέτοια είναι λοιπόν η περίπτωση των αριθμών από 9.999.999.961 έως 10.000.000.038. Οι 39 που αρχίζουν από 9 έχουν αθροίσματα ψηφίων από 79=6*13+1 έως 90=6*13+12, που αφήνουν επομένως υπόλοιπα διαίρεσης με το 13 από 1 έως 12, ενώ οι υπόλοιποι 39 που αρχίζουν από 1 έχουν αθροίσματα ψηφίων από 1=0*13+1 έως 12=0*13+12, που επίσης αφήνουν υπόλοιπα από 1 έως 12. Κανένας από τους 78 δεν αφήνει υπόλοιπο 0.

    ΑπάντησηΔιαγραφή