Κυριακή, 16 Οκτωβρίου 2016

Η άσκηση της ημέρας (17 - 10 - 2016)

Αν κάθε τετράγωνο έχει μία κορυφή στο κέντρο του προηγούμενου, να βρεθεί το εμβαδόν της χρωματισμένης επιφάνειας..
Λύση
Γράφει ο Κώστας Δόρτσιος
Θεωρούμε κατ’ αρχήν τα δύο πρώτα τετράγωνα στο κατωτέρω σχήμα:
Εύκολο είναι να δειχθεί ότι τα τρίγωνα $(O_1BZ)$ και $(O_1CE)$ είναι ίσα, διότι έχουν $O_1B=O_1Z$ και τις προσκείμενες αυτών γωνίες αντίστοιχα ίσες.
Επομένως το τετράπλευρο $(O_1ECZ)$είναι ισοδύναμο με το τρίγωνο $(O_1BZ)$ το οποίο είναι το ένα τέταρτο του εμβαδού του τετραγώνου $(ABCD)$. 
Άρα το συνολικό εμβαδόν που δημιουργείται από την τοποθέτηση των δύο αυτών τετραγώνων είναι:
\[E\left( ABZHKLEDA \right)=2E-\frac{1}{4}E=\frac{3}{4}E\]
όπου $E$ το εμβαδόν του κάθε τετραγώνου. 

  • Αν τώρα θεωρήσουμε πέντε τετράγωνα στη σειρά και όπως περιγράφει η άσκηση αυτή τότε θα έχουμε το σχήμα:


Στην περίπτωση αυτή είναι φανερό ότι το συνολικό πολύγωνο που σχηματίζεται από τα πέντε αυτά ίσα τετράγωνα είναι:
$E\left( o\lambda \iota \kappa \right)=5E-4\cdot \frac{1}{4}E=4E$
  • Γενικεύοντας για $n$ με $n\ge4$ τετράγωνα εύκολα προκύπτει ότι το εμβαδόν που σχηματίζεται σύμφωνα με τα δεδομένα του προβλήματος θα είναι:
$E\left( o\lambda \iota \kappa  \right)=nE-\left( n-1 \right)\cdot \frac{1}{4}E=\frac{3n+1}{4}E$.

* * *
Κάντε κλικ στα παρακάτω σχήματα, για να δείτε τα δύο αρχεία geogebra:

1 σχόλιο:

  1. το προτελευταίο ( από αριστερά προς τα δεξιά) εμφανίζεται ολόκληρο ενώ τα υπόλοιπα τέσσερα κατά τα $3/4$ το καθένα . Κατά συνέπεια το όλο εμφανιζόμενο γραμμοσκιασμένο εμβαδόν είναι $4$ τετράγωνα

    ΑπάντησηΔιαγραφή