International Mathematical Olympiad 2016 - Τα θέματα της 1ης και 2ης ημέρας

1η Ημέρα

Πρόβλημα 1o

Έστω τρίγωνο  ορθογώνιο στο B. Επιλέγουμε σημείο  της ευθείας  ώστε να ισχύει . Επίσης, θεωρούμε σημείο D ώστε  και η  να είναι διχοτόμος της γωνίας . 

Επίσης, διαλέγουμε σημείο  ώστε  και η AD να είναι διχοτόμος της . Αν  είναι το μέσον της υποτείνουσας του τριγώνου , και  σημείο τέτοιο ώστε το τετράπλευρο  να είναι παραλληλόγραμμο με , να αποδειχτεί ότι οι ευθείες  συντρέχουν.

Πρόβλημα 2o

Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι , που είναι τέτοιοι ώστε να μπορούν να τοποθετηθούν τα γράμματα Ι,Μ,Ο στον  πίνακα (ένα γράμμα σε κάθε κελί), ώστε να ισχύουν οι συνθήκες:

1) Σε κάθε γραμμή και στήλη του πίνακα να υπάρχει ίσος αριθμός από Ι,Μ,Ο.

2) Αν ο αριθμός των κελιών σε μία διαγώνιο είναι πολλαπλάσιο του 3, τότε έχουμε ίσο αριθμό από Ι,Μ,Ο.

Σημείωση: Οι γραμμές και οι στήλες του πίνακα αριθμούνται με αριθμούς από το 1 ως το  κατά τη φυσική τους σειρά. Όταν , ο πίνακας αυτός έχει συνολικά διαγωνίους, οι οποίες είναι δύο τύπων. Μια διαγώνιος του πρώτου τύπου αποτελείται από κελιά  για τα οποία το άθροισμα  είναι σταθερό, ενώ μια διαγώνιος του δεύτερου τύπου αποτελείται από κελιά  για τα οποία η διαφορά  είναι σταθερή.

2η Ημέρα

Πρόβλημα 3o

'Εστω  ένα κυρτό πολύγωνο, του οποίου οι κορυφές βρίσκονται σε κύκλο και έχουν ακέραιες συντεταγμένες. Έστω  ένας περιττός θετικός ακέραιος, ο οποίος δίνεται ότι διαιρεί τα τετράγωνα των μηκών των πλευρών του πολυγώνου. Να αποδειχτεί ότι το εμβαδόν του πολυγώνου είναι θετικός ακέραιος, και ότι το διπλάσιό του (αριθμητικά) διαιρείται από το .

Πρόβλημα 4ο 

Ένα σύνολο θετικών ακέραιων αριθμών ονομάζεται εύοσμο, αν αυτό περιέχει δύο τουλάχιστον στοιχεία και καθένα από τα στοιχεία του έχει έναν κοινό πρώτο παράγοντα με ένα τουλάχιστον από τα υπόλοιπα στοιχεία του. Έστω . Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή του θετικού ακεραίου έτσι ώστε να υπάρχει ένας μη αρνητικός ακέραιος για τον οποίο το σύνολο

   

είναι εύοσμο;

Πρόβλημα 5ο 

Η εξίσωση 

 

γράφεται στον πίνακα, με γραμμικούς παράγοντες σε κάθε μέλος της. Ποια είναι η ελάχιστη δυνατή τιμή του για την οποία είναι δυνατόν να σβήσουμε ακριβώς από τους γραμμικούς παράγοντες των δύο μελών της εξίσωσης έτσι ώστε ένας τουλάχιστον παράγοντας να μείνει σε κάθε μέλος και η εξίσωση που προκύπτει να μην έχει πραγματικές λύσεις;

Πρόβλημα 6ο

Δίνονται ευθύγραμμα τμήματα στο επίπεδο έται ώστε κάθε δύο από αυτά τέμνονται σε ένα εσωτερικό τους σημείο και δεν υπάρχουν τρία από αυτά που να περνούν από το ίδιο σημείο. Ο Τζέφ πρέπει να διαλέξει ένα άκρο από κάθε ευθύγραμμο τμήμα και να τοποθετήσει ένα βάτραχο σε αυτό, που να κοιτάζει προς το άλλο άκρο του τμήματος. Ύστερα αυτός θα κάνει χειροκροτήματα. Σε κάθε χειροκρότημα, κάθε βάτραχος πηδά αμέσως προς το επόμενο σημείο τομής του ευθυγράμμου τμήματός του. Οι βάτραχοι ποτέ δεν αλλάζουν την κατεύθυνση των πηδημάτων τους. Ο Τζέφ θέλει να τοποθετήσει τους βατράχους κατά τέτοιο τρόπο ώστε να μην συμβεί ποτέ να βρεθούν δύο από αυτούς στο ίδιο σημείο τομής την ίδια χρονική στιγμή.

(α) Να αποδείξετε ότι ο Τζέφ μπορεί πάντοτε να πραγματοποιήσει την επιθυμία του, όταν ο αριθμός είναι περιττός.

(β) Να αποδείξετε ότι ο Τζέφ δεν μπορεί ποτέ να πραγματοποιήσει την επιθυμία του, όταν ο είναι άρτιος.

Πηγή
Δείτε τα θέματα σε pdf: