Κυριακή, 24 Ιουλίου 2016

Ένα ορισμένο και ένα αόριστο

Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα:

1. $\int_1^e \dfrac{1+2x \sqrt{\log x}}{2 x \sqrt{\log x}(x+\sqrt{\log x})} \;dx$

2. $\int\ln(10x+10x^2)dx$

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

1 σχόλιο:

  1. 2. Έχουμε διαδοχικά:

    \begin{align*}
    \int \ln \left ( 10x + 10x^2 \right ) \, {\rm d}x &= \int \ln \left ( 10x \left ( 1+x \right ) \right ) \, {\rm d}x \\
    &= \int \left [ \ln 10 x + \ln (1+x) \right ] \, {\rm d}x \\
    &= \int \left ( \ln 10 + \ln x + \ln (1+x) \right ) \, {\rm d}x\\
    &= x \ln 10 + x \ln x - x + \int \ln (1+x) \, {\rm d}x \\
    &= x \ln 10 + x \ln x - x + \int \left ( x+1 \right )' \ln (1+x) \, {\rm d}x \\
    &= x \ln 10 + x \ln x - x + (x+1) \ln (x+1) - \int \, {\rm d}x \\
    &= x \ln 10 + x \ln x - x + (x+1) \ln (x+1) -x + c , \; c \in \mathbb{R}
    \end{align*}

    Για το άλλο σίγουρα είναι έτσι; Προφανώς το $\log x$ είναι ο δεκαδικός λογάριθμος και πρέπει να γίνει αλλαγή βάσης. Αλλά έτσι τα άκρα δεν είναι καλά.

    ΑπάντησηΔιαγραφή