Οκτώ άτομα κάθονται γύρω από ένα κυκλικό τραπέζι, και κρατούν ένα κέρμα. Και τα οκτώ άτομα στρίβουν το κέρμα στον αέρα και εκείνοι που φέρνουν "κεφάλι" σηκώνονται όρθιοι, ενώ
εκείνοι που φέρνουν "γράμματα" παραμένουν καθιστοί.
Ποια είναι η πιθανότητα δύο γειτονικά άτομα να είναι όρθια;
2015 AMC 10A Problems/Problem 22
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Η ζητούμενη πιθανότητα είναι συμπληρωματική της πιθανότητας να μη βρεθούν όρθια δύο γειτονικά άτομα. Ας δούμε τα ευνοϊκά ενδεχόμενα της περίπτωσης να μη βρεθούν όρθιοι δύο γείτονες, σε συνάρτηση με το συνολικό αριθμό ατόμων που θα βρεθούν όρθια:
ΑπάντησηΔιαγραφήΓια 0 όρθια άτομα, έχουμε 1 ευνοϊκό ενδεχόμενο (όλοι καθιστοί).
Για 1 όρθιο άτομο, έχουμε C(8,1)=8 ευνοϊκά ενδεχόμενα.
Για 2 όρθια άτομα, έχουμε 8*5/2=20 ευνοϊκά ενδεχόμενα (8 επιλογές για το πρώτο άτομο επί 5 για το δεύτερο -εξαιρούνται οι 2 γειτονικές θέσεις της θέσης του πρώτου- δια 2 προς αποφυγή διπλομετρημάτων)
Για 3 όρθια άτομα, έχουμε 8*6/3=16 ευνοϊκά ενδεχόμενα (8 επιλογές για το πρώτο άτομο επί 6 για το ζευγάρι δεύτερου-τρίτου δια 3 προς αποφυγή τριπλομετρημάτων)
Για 4 όρθια άτομα, έχουμε 2 ενδεχόμενα, αφού για να μη βρεθούν δύο γείτονες όρθιοι θα πρέπει κάθε θέση ορθίου να εναλλάσσεται με θέση καθιστού.
Για περισσότερα από 4 όρθια άτομα, έχουμε 0 ευνοϊκά ενδεχόμενα, αφού τότε δύο όρθια άτομα θα είναι αναγκαστικά γειτονικά.
Επομένως, τα συνολικά ενδεχόμενα για να μη βρεθούν όρθιοι δύο γείτονες είναι 1+8+20+16+2=47.
Τα συνολικά δυνατά ενδεχόμενα είναι 2^8=256
Η ζητούμενη πιθανότητα είναι 1-47/256=209/256.