Παρασκευή, 25 Σεπτεμβρίου 2015

Εύρεση συνάρτησης

Να βρεθεί η γνήσια αύξουσα συνάρτηση  $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ για την οποία:
$f(\dfrac{{x + f(x)}}{2}) = x\,\,$, για κάθε $x \in \mathbb{R}$.

8 σχόλια:

  1. Νομιζω οτι χρειαζομαστε το συνολο τιμων της f.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f(x)=x προφανώς μας κάνει. Αρκεί να δείξουμε ότι είναι και η μοναδική γνησίως αύξουσα που ικανοποιεί τη δεδομένη ταυτότητα.
    Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει x € R με f(x) # x.
    Έστω f(x)>x => f(f(x))>f(x), αφού η f είναι γνησίως αύξουσα.
    Εισάγοντας στη δεδομένη ταυτότητα στη θέση του x το f(x) έχουμε:
    f((f(x)+f(f(x)))/2) = f(x) => (f(x)+f(f(x)))/2 = x => f(x)+f(f(x)) =2x.
    Αλλά αυτό δεν μπορεί να ισχύει αφού f(x)>x και f(f(x))>f(x)>x.
    Σε ανάλογο άτοπο καταλήγουμε αν υποθέσουμε ότι f(x)<x.
    Επομένως f(x)=x για κάθε x € R

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Εισαγοντας στη θεση του x το f(x) το x παιρνει τις τιμες του συνολου τιμων της f το οποιο δεν γνωριζουμε. Η τελικη σχεση λοιπον πως μπορουμε να πουμε πως θα ισχυει η οχι για καθε x ανηκει R;

      Διαγραφή
    2. Το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f(χ) περιλαμβάνει όλες τις τιμές που παίρνει η f(χ), καθώς το χ διατρέχει πλήρως το σύνολο ορισμού. Δεν αντιλαμβάνομαι γιατί θα υπήρχε κάποιος λόγος να το προκαθορίσουμε ή περιορίσουμε εκ των προτέρων. Φυσικά, πρέπει να θεωρήσουμε ότι είναι κάποιο υποσύνολο του R, αλλιώς δεν θα μπορούσαμε να μιλάμε για γνήσια μονοτονία της f(x). Αφού λοιπόν η f(χ) ορίζεται για κάθε χ που ανήκει στο R και κάθε τιμή της f(χ) ανήκει επίσης στο R, τότε κάθε τιμή της f(χ) είναι έγκυρη ως τιμή εισόδου στην ίδια την f(χ) και επιστρέφει μια έγκυρη τιμή εξόδου f(f(χ)), μια τιμή δηλαδή που ανήκει στο R.

      Ειδικά για την f(x)=x, με σύνολο ορισμού το R, προφανώς και το σύνολο τιμών είναι το R. Εκτός κι αν δεν αντιλήφθηκα ακριβώς την ένστασή σου.

      Διαγραφή
    3. Να προσθέσω κάτι ακόμα που ελπίζω πως είναι πιο άμεσα πειστικό: Ας κοιτάξουμε τι μας λέει η συναρτησιακή εξίσωση που δίνεται και ισχύει για κάθε χ€R: f((χ+f(χ))/2)=χ. Μας λέει ότι κάθε χ€R είναι και τιμή της f που αντιστοιχεί σε ένα στοιχείο του συνόλου ορισμού και συγκεκριμένα στο στοιχείο (χ+f(χ))/2. Αν λοιπόν το χ παίρνει τιμές από ολόκληρο το R και ταυτόχρονα κάθε χ είναι και τιμή της συνάρτησης, πώς θα μπορούσε η f(χ) να έχει σύνολο τιμών κάτι άλλο από ολόκληρο το R;

      Διαγραφή
    4. Εχεις δικιο φιλε papadim εγω για καποιο λαθος λογο νομιζα οτι εκανες αλλαγη μεταβλητης....η λυση σου μια χαρα ειναι το προβλημα θα υπηρχε αν αντι για x εβαζες f^-1(x).
      Σορρυ για την αναστατωση....

      Διαγραφή
  3. Η ωραία ! λύση του $Papa\dim $ μας εξασφαλίζει το ζητούμενο χωρίς κατ’ ανάγκη να γνωρίζουμε το σύνολο τιμών της $f$.

    Ελάχιστα διαφορετικά ( Πιο πολύ για το ευανάγνωστο λόγω $Latex$):

    Έστω ότι υπάρχει ${x_0} \in \mathbb{R}$ για το οποίο

    $f({x_0}) > {x_0}\,\,\,(1)\,\,\, \Rightarrow {x_0} + f({x_0}) > 2{x_0}$

    και άρα $\dfrac{{{x_0} + f({x_0})}}{2} > {x_0}$.

    Αφού η $f$ γνήσια αύξουσα θα είναι και

    $f(\dfrac{{{x_0} + f({x_0})}}{2}) > f({x_0}) \Rightarrow {x_0} > f({x_0})$.

    Μαθηματικό αδιέξοδο λόγω της (1).

    Σε άτοπο οδηγούμαστε ομοίως αν δεχθούμε ότι υπάρχει ${x_0} \in \mathbb{R}$ για το

    οποίο , $f({x_0}) < {x_0}$. Άρα $f(x) = x\,\,,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ευχαριστώ αγαπητέ Νίκο, για το καλό σου σχόλιο και την εξαιρετική παρουσίαση της απόδειξης!

      Διαγραφή