Έστω τρίγωνο $ABC$ με $\angle{ABC}=2\angle{ACB}$. Η διχοτόμος της γωνίας $BAC$ τέμνει την πλευρά $BC$ στο σημείο $D$.
Έστω $M$ το μέσο της πλευράς $AC$ και $N$ το μέσο του τμήματος $BD$. Αν τα σημεία $A,M,N,D$ είναι ομοκυκλικά, να βρεθεί η γωνία $BAC$.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Αφού $AMND$ εγγράψιμο $\Rightarrow \angle AMD=\angle AND$ και επειδή τα σημεία $N$ και $M$ βρίσκονται ένθεν και ένθεν του $AD$, άρα $ \angle AMD=\angle AND=90°$ άρα $MD$ μεσοκάθετος της πλευράς $AC$, άρα $\triangle ADC$ ισοσκελές $\Rightarrow \angle C=\angle \dfrac{A}{2}$
ΑπάντησηΔιαγραφήΟπότε αν $\angle C=x$, τότε $\angle A=\angle B=2\angle C=2x $, συνεπώς $5x=180°\Rightarrow \boxed{x=36°} \Rightarrow$ $\boxed{\angle BAC=2x=72°}$