Σάββατο, 26 Σεπτεμβρίου 2015

1ο και 3ο ΛΥΚΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ - Η άσκηση της εβδομάδας (28 – 9 – 2015)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Οι καθηγητές του 1ου Λυκείου και 3ου Λυκείου Γιαννιτσών προτείνουν την άσκηση της εβδομάδας:

1 σχόλιο:

  1. 1. Έστω $f(a) = b\,\,,\,\,b \ne a$ . Θα είναι $f(f(a)) = f(b) \Rightarrow g(a) = f(b)$ και λόγω της υπόθεσης $f(b) = a \Rightarrow f(f(b)) = f(a) \Rightarrow g(b) = b$ άτοπο λόγω της μοναδικότητας του $a$. Άρα $f(a) = a$

    2. Έστω $\boxed{f(2) = u\,}\,\,(1) \Rightarrow g(2) = f(u)$ , οπότε $f(g(2)) = f(f(u))$ δηλαδή ${2^2} - 3 \cdot 2 + 4 = g(u) \Rightarrow g(u) = 2$. Πάλι λόγω της υπόθεσης έχουμε $f(g(u)) = f(2) = u$ . Οπότε προκύπτει η εξίσωση : ${u^2} - 3u + 4 = u \Leftrightarrow {(u - 2)^2} = 0 \Leftrightarrow \boxed{u = 2 = f(2)}$.

    3. Αν $g(x) = {x^{2015}} \Leftrightarrow f(f(x)) = {x^{2015}}\,\,(2)$ . Θέτουμε $f(x) = t$ άρα $f(t) = {x^{2015}} \Rightarrow f(f(t)) = f({x^{2015}})$ δηλαδή $g(t) = f({x^{2015}})$ και λόγω της υπόθεσης ${t^{2015}} = f({x^{2015}})$ και αφού $f(x) = t$ θα έχουμε: $\boxed{{f^{2015}}(x) = f({x^{2015}})}$.

    4. Μήπως έπρεπε το ερώτημα να διατυπωθεί διαφορετικά αφού $\boxed{{D_f} = \mathbb{R} - \{ - 1\} }$ και όχι όλο το $\mathbb{R}$; Ας είναι το παρακάμπτουμε:

    Η $g = fof$ ορίζεται στο σύνολο $A = \left\{ {x \in {D_f}} \right.:f(x) \in {D_f}\} $ δηλαδή $x \ne - 1$ και $\dfrac{{1 - x}}{{1 + x}} \ne - 1$. Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει $x \in {D_f}$ για το οποίο $\dfrac{{1 - x}}{{1 + x}} = - 1 \Rightarrow 1 = - 1$ άτοπο και άρα για κάθε $x \in {D_f}$ ισχύει $\dfrac{{1 - x}}{{1 + x}} \ne - 1$ κατά συνέπεια ${D_g} \equiv {D_f} = \mathbb{R} - \{ - 1\} $. Τώρα για τον τύπο της $g$έχουμε: $g(x) = f(f(x)) = \dfrac{{1 - \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}}}{{1 + \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}}}$ και πολλαπλασιάζοντας τους όρους του κλάσματος με $(1 + x) \ne 0$ προκύπτει : $g(x) = \dfrac{{(1 + x) - (1 - x)}}{{(1 + x) + (1 - x)}} \Rightarrow g(x) = x\,\,,\forall x \in {D_f}$.

    ΑπάντησηΔιαγραφή