Δευτέρα, 13 Απριλίου 2015

Κύκλοι και τετράγωνο

Στο παρακάτω σχήμα έχουμε δύο κύκλους και ένα τετράγωνο που βρίσκονται ανάμεσα σε δύο παράλληλες ευθείες που απέχουν απόσταση 400 μεταξύ τους.
Η πλευρά του τετραγώνου είναι 279 και η βάση του εφάπτεται της κάτω ευθείας. Ο κάτω κύκλος εφάπτεται με τον πάνω κύκλο, το τετράγωνο και την κάτω ευθεία και ο πάνω κύκλος εφάπτεται με την πάνω ευθεία και αγγίζει την μία κορυφή του τετραγώνου. Αν η ακτίνα του πάνω κύκλου είναι 65, τότε να βρεθεί η ακτίνα του κάτω κύκλου.
Fermat Contest (Grade 11)
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com 

4 σχόλια:

  1. Καλησπέρα κύριε Ρωμανίδη
    Χρόνια πολλά και να είστε γερός και δυνατός, να μας τροφοδοτείτε με γνώσεις- μαθηματικές- και ερεθίσματα για σκέψη.
    Χρόνια πολλά στους φίλους του Eisatopon και δη στους συνήθεις ¨ύποτους".

    Έστω $a_{x} \wedge \ a_{y}$ ευθείες που περνάνε από το κέντρο του μικρού κύκλου και είναι $//$ στις πλευρές του τετραγώνου.
    Η $a_{x}$ απέχει από την παράλληλη της πλευρά του τετραγώνου απόσταση $400-279-65=56$ και η $a_{y}$ απέχει από την παράλληλη της πλευρά του τετραγώνου απόσταση
    $ \sqrt{65^2-56^2}=33$

    Έστω $R=x$ η ζητούμενη ακτίνα τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από τα κέντρα των κύκλων (υποτείνουσα) και το σημείο τομής της οριζόντιας παράλληλης, της διερχόμενης από το κέντρο του μεγάλου κύκλου και της κατακόρυφης παράλληλης, της διερχόμενης από το κέντρο του μικρού κύκλου. Το σχηματιζόμενο ορθογώνιο τρίγωνο έχει υποτείνουσα
    $x+65$, την μια κάθετη ίση με $x-33$ και τη άλλη κάθετη ίση με $279-x+56=335-x$
    Π.Θ στο εν λόγω τρίγωνο $ \Rightarrow (x+65)^2=$
    $(x-33)^2+(335-x)^2 \Rightarrow x=153 \vee x=713 $

    Δεκτή η $x=153 \Rightarrow R=153$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Διερευνώντας την λύση $x=713$, αν δίνει λύση με άλλον σχηματισμό, διαπίστωσα ότι πράγματι δίνει λύση με τον παρακάτω σχηματισμό: O μεγάλος κύκλος με $R=713$ εφαπτόμενος της κάτω ευθείας και της δεξιάς κατακόρυφης πλευράς του τετραγώνου και ο μικρός στην πάνω δεξιά πλευρά του τετραγώνου, έτσι που να εφάπτεται της πάνω ευθείας, να διέρχεται από την πάνω δεξιά κορυφή του τετραγώνου και να τέμνει την πάνω πλευρά του τετραγώνου κατά χορδή $(66=2\cdot33). Οι δύο αυτοί κύκλοι πάλι εφάπτονται και μεταξύ τους. (Κρίμα που δεν μπορώ να κάνω σχήμα)

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Επίσης και αριστερά της αριστερής κατακόρυφης πλευράς του τετραγώνου και πάνω της κάτω ευθείας πάρουμε το κέντρο του μεγάλου κύκλου και σε ίσες αποστάσεις $713$ και γράψουμε κύκλο ακτίνας $R=713$, θα εφάπτεται φυσικά και της κάτω ευθείας και του τετραγώνου , αφού το κέντρο ισαπέχει αυτών κατά $713$ αλλά εφάπτεται και του μικρού $(r=65)$ διότι: $(713-33)^2+(713-279-56)^2=$ $605284=778^2$
      $=(713+65)^2=(R+r)^2$

      Διαγραφή