Πέμπτη, 11 Δεκεμβρίου 2014

Γωνιακά προβλήματα

Έστω σημείο Μ στο εσωτερικό παραλληλογράμμου ABCD. Γνωρίζουμε ότι $\angle{MBC}=20^0$, $\angle{MCB}=50^0$, $\angle{MDA}=70^0$, $\angle{MAD}=40^0$. Βρείτε τις γωνίες του παραλληλογράμμου. 
Περιοδικό Quantum

1 σχόλιο:

  1. Εχω βαλει την λυση ως εικονα http://s23.postimg.org/s6alu9jmz/gonies.jpg

    Χαριν ευκολιας ονομαζω τις αγνωστες γωνιες
    MAB=a
    MBA=b
    MCD=c
    MDC=d

    Ευκολα βλεπει κανεις απ' τα τριγωνα AMD & BMC οτι
    DMA=180-40-70=70
    CMB=180-50-20=110
    -----------------------------------------------------
    Για ολο το παραλληλογραμμο ABCD ισχυει

    A+B+C+D=360
    a+b+c+d=360-40-20-50-70
    a+b+c+d=180 (1η παρατηρηση)
    -----------------------------------------------------
    Για τις παραπληρωματικες γωνιες D&C και Α&Β του παραλ/μου ισχυει:

    70+d=180-50-c
    d+c=60 και λογω αυτου στο τριγωνο DMC η γωνια DMC=120

    a+40=180-b-20
    a+b=120 (2η παρατηρηση) και λογω αυτου στο τριγωνο ΑΜΒ η γωνια ΑΜΒ=60
    -----------------------------------------------------
    Για τις ισες γωνιες Α&C του παραλ/μου ισχυει:
    40+a=50+c
    a-c=10
    προσθετοντας την γωνια b κατα μελη εχω

    a-c+b=10+b
    120-c=10+b (λογω της 2ης παρατηρησης)
    c+b=110 (3η παρατηρηση)
    -----------------------------------------------------
    Τωρα προεκτεινω την DM προς το Μ και τεμνει την ΒC στο L
    ενω τεμνει και την προεκταση της AB στο Κ.

    Ισχυει τωρα οτι για τις γωνιες
    DMA+AMB+BML=180
    70+60+BML=180
    BML=50

    Αρα τωρα στο τριγωνο MBL εχω
    ΜLB=180-20-50
    MLB=110 και επομενως BLK=70
    -----------------------------------------------------
    Bλεπω οτι BKL=d (εντος εναλλαξ γωνιες) , στο τριγωνο LBK ισχυει

    70+BKL=LBK
    70+BKL=180-20-b
    70+d=160-b
    d+b=90 (4η παρατηρηση)

    Λογω τις 1ης+4ης παρατηρησης ισχυει οτι επισης a+c=90 (5η παρατηρηση)
    -----------------------------------------------------
    Λυνοντας το συστημα των (2,3,4,5) παρατηρησεων βρισκω οτι
    a=MAB=50, b=MBA=70, c=MCD=40, d=MDC=20

    ΑπάντησηΔιαγραφή