Παρασκευή, 24 Οκτωβρίου 2014

Το Άθροισμα

Ο Γιαννάκης έσκισε 25 σελίδες από το βιβλίο με τίτλο «Κανόνες καλής συμπεριφοράς», οι σελίδες δεν ήταν κατ’ ανάγκη διαδοχικές.
Να διερευνηθούν οι εξής συνθήκες:
α) Είναι δυνατό το άθροισμα της αρίθμησης των σχισμένων σελίδων να ισούται με 1.271; 
β)Είναι δυνατόν το άθροισμα να ισούται με 2.446; 
γ)Αν ο Γιαννάκης είχε σχίσει 24 σελίδες από το βιβλίο, όχι απαραίτητα διαδοχικές, είναι δυνατό το άθροισμα των αριθμών των σελίδων να ισούται με 2.446;
Λύση: 
α)Το άθροισμα των αριθμών των σκισμένων σελίδων (25*2=50) είναι τουλάχιστον:
1+2+3+4+…+50=1.275 
Άρα το άθροισμα δεν μπορεί να είναι 1.271. 
β)Παρατηρούμε ότι το άθροισμα των αριθμών μια σκισμένης σελίδας είναι πάντα περιττός αριθμός .Άρα προσθέτοντας το άθροισμα των αριθμών 25 σελίδων προσθέτουμε 25 περιττούς αριθμούς το αποτέλεσμα είναι σίγουρα περιττός έτσι δεν μπορεί να ισούται με 2.446. 
γ)Υποθέτουμε ότι οι δυο πλευρές μιας σκισμένης σελίδας έχουν αρίθμηση 2κ-1, 2κ με άθροισμα (2κ-1+2κ=4κ-1). Εάν προσθέσουμε τους αριθμούς των σελίδων των 24 φύλλων λαμβάνουμε: 
(4κ1-1)+ (4κ2-1)+ (4κ3-1)+…. +(4κ24-1) = 4(κ1+ κ2+ κ3+…. +κ24)-24 
που είναι πολλαπλάσιο του 4, έτσι δεν μπορεί να ισούται με 2.446. (Ο αριθμός δεν είναι πολλαπλάσιος του 4)

2 σχόλια:

  1. Μια προσπάθεια:
    α) Όχι αφού το sum(1:50) = 1275
    β) Όχι, αφού το άθροισμα 25 περιττών αριθμών θα είναι περιττός.
    γ) Όχι γιατί αν α1, α2, ..., α24 οι μονοί αριθμοί σελίδων, θα έπρεπε 2*(α1 + α2 + ..., + α24) + 24 = 2446 => (α1 + α2 + ..., + α24) =1211. Αλλά άρτιο πλήθος περιττών έχει άρτιο άθροισμα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Συγχαρητήρια! Η απάντησή σας είναι σωστή.

      Διαγραφή