Τετάρτη 18 Μαΐου 2011

▪ Χι εις την τρίτη

Δίνεται ότι χ2 + χ  + 1 = 0. Να βρεθεί η τιμή του χ3.
Αναρτήθηκε από στις 18.5.11
Ετικέτες

4 σχόλια:

  1. pannickel18 Μαΐου 2011 στις 8:07 μ.μ.

    Πολύ ωραίο! χ^3=1

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. ΑΝΩΝΥΜΟΣ18 Μαΐου 2011 στις 9:41 μ.μ.

    x=(-1)^(2/3)
    x^3=(-1)^2=1

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Ανώνυμος22 Μαΐου 2011 στις 7:54 μ.μ.

    mporei kapoios n mou dwsei tn lysh?

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ανώνυμος3 Απριλίου 2012 στις 9:00 μ.μ.

      Στην ταυτότητα
      χ^3 -1=(χ-1)*(χ^2+χ+1)αντικαθιστώ
      το χ^2+χ+1=0 και έχω:
      χ^3 -1=0 <--> χ^3=1
      ---> χ=1.
      Αν δούμε όμως το πρόβλημα και από την σκοπιά των μιγαδικών και λύσουμε την εξίσωση χ^2+χ+1=0 θα πάρουμε δύο ρίζες:
      x1=[-1+i*sqrt(3)]/2 και
      x2=[-1-i*sqrt(3)]/2.
      που γραφονται σε τριγωνομετρική μορφή:
      x1=cos(2π/3)+i*sin(2π/3) και
      x2=cos(4π/3)+i*sin(4π/3).
      Αν υψωθούν στον κύβο θα έχουμε:
      x1^3=cos(3*2π/3)+i*sin(3*2π/3)=
      =cos(2π)+i*sin(2π)=1+i*0=1
      Ομοίως
      x1^3=cos(3*4π/3)+i*sin(3*4π/3)=
      =cos(4π)+i*sin(4π)=1+i*0=1.
      Η απάντηση λοιπόν είναι:
      x^3=1.
      Σημ. η εξίσωση χ^3 -1=0 ή
      (χ-1)*(χ^2+χ+1)=0
      (ως τριτοβάθμια)έχει τρείς ρίζες εκ των οποίων μία πραγματική την x=1 (=1+0*i=cos0+i*sin0)
      και δύο μιγαδικές τις
      x1=cos(2π/3)+i*sin(2π/3)
      x2=cos(4π/3)+i*sin(4π/3).
      Οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στον μοναδιαίο κύκλο και είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου με κορυφές:
      Α(1,0)
      Β(-1/2,sqrt(3)/2)
      Γ(-1/2,-sqrt(3)/2).

      N. Lntzs

      Διαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)