▪ 33 Ασκήσεις Γεωμετρίας από τους Μαθηματικούς διαγωνισμούς της ΕΜΕ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

 ΑΣΚΗΣΗ 1^η

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία  Q, Κ, L ,Μ, Ν, Ρ πάνω στις ημιευθείες ΑΒ, ΑΓ, ΒΓ, ΒΑ, ΓΑ και ΓΒ  αντιστοίχως τέτοια ώστε ΑQ = ΓΡ = ΑΓ, ΑΚ = ΒΛ = ΑΒ και ΒΜ = ΓΝ = ΒΓ. Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες ΚΛ, ΜΝ και ΡQ είναι παράλληλες. 

Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Μαθηματικός διαγωνισμός 1984 

ΑΣΚΗΣΗ 2^η

Aν Ε είναι το σημείο τομής των διαγωνίων τετραπλεύρου ΑΒΓΔ εγγεγραμμένου σε κύκλο (Ο, R) και Κ σημείο του επιπέδου , τέτοιο ώστε ΚΑ κάθετη στην ΑΒ και KΔ κάθετη στην ΔΓ , τότε να αποδείξετε ότι τα σημεία K, E και O είναι συνευθειακά.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης» 1986

ΑΣΚΗΣΗ 3^η

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R) και Κ το σημείο τομής της  εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο Γ με τη διχοτόμο της  γωνίας Β .Αν το άθροισμα των αποστάσεων του κέντρου του κύκλου από τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ είναι ίσο με 2 και ισχύουν γωνΒΚΓ = ½ (3Α –Γ) και  ΑΒ + ΑΓ = 2 + sqr3, τότε να βρείτε την ακτίνα R του κύκλου.

Ε.Μ.Ε  Διαγωνισμός επιλογής 1987 

ΑΣΚΗΣΗ 4^η

Έστω τετράγωνο  ΑΒΓΔ πλευράς 2. Αν Ε είναι το μέσο της πλευράς ΑΒ, Ζ το μέσο της πλευράς ΒΓ, Η το σημείο τομής των ΑΖ και ΔΕ και Κ το σημείο τομής των ΒΔ και ΑΖ, να βρείτε το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΚΕΒΖ.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 1991

ΑΣΚΗΣΗ 5^η

Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με γωνΑ = γωνΓ = 90⁰  και Ε και Ζ τα ίχνη των καθέτων από τις κορυφές Β και Δ στη διαγώνιο ΑΓ. Αν ΑΕ = 3, ΔΕ = 5 και ΓΕ = 7, τότε να βρείτε το μήκοςτου ευθύγραμμου τμήματος ΒΖ.                     

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 1991

ΑΣΚΗΣΗ 6^η

Το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ διπλώνεται έτσι ώστε η κορυφή Α να συμπέσει με ένα σημείο Δ της πλευράς ΒΓ όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν ΒΔ = 1 και ΔΓ = 2, τότε να βρείτε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΕΖ.

Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος διαγωνισμός  «Θαλής» 1991

ΑΣΚΗΣΗ 7^η

Έστω ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΒ = 92 και ΓΔ = 19. Ο κύκλος με κέντρο Ο επί της πλευράς ΑΒ εφάπτεται των πλευρών ΒΓ και ΑΔ στα σημεία Ε και Ζ αντιστοίχως. Αν m είναι η ελάχιστη τιμή του μήκους των ίσων πλευρών, τότε να βρείτε το m².

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης» 1992

ΑΣΚΗΣΗ 8^η      

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και μία ευθεία ε που διέρχεται από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου και τέμνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Κ και Λ αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι 

E.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 1995

ΑΣΚΗΣΗ 9^η

Έστω ορθογώνιο ΑΒΓΔ και Κ σημείο της διχοτόμου της γωνίας Α (το Α βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΔ). Αν Ε είανι το σημείο τομής των ευθειών ΒΚ, ΓΔ και Ζ το σημείο τομής των ευθειών ΔΚ, ΓΒ, τότε να αποδείξετε ότι ΕΔ = ΖΒ.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης» 1995

ΑΣΚΗΣΗ 10^η

Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ και σημείο Ζ της προέκτασης της ΑΓ , έτσι ώστε ΑΓ = ΒΖ = ΔΖ. Αν Ε το συμμετρικό σημείο του Ζ ως προς το Γ, να υπολογίσετε τη γωνία ΓΒΕ .                                                     

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 1996 

 ΑΣΚΗΣΗ 11^η

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο. Αν η διχοτόμος της γωνίας Α τέμνει την ΒΓ στο σημείο Δ και τον κύκλο στο σημείο Κ και οι εγγεγραμμένοι κύκλοι ΒΔΚ και ΚΔΓ είναι ίσοι, να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.

Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Eυκλείδης» 1996

ΑΣΚΗΣΗ 12^η

Έστω παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Ε ,Ζ τα μέσα των ΑΒ , ΑΔ αντιστοίχως. Αν Κ το σημείο τομής των ΓΕ και ΒΖ και Μ σημείο του ΚΓ τέτοιο ώστε ΒΜ//ΔΚ, να αποδείξετε ότι (ΚΔΖ) = (ΚΒΜΔ).

 Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 1997

ΑΣΚΗΣΗ 13^η

Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ, να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης (ΟΑ + ΟΓ):(ΟΒ + ΟΔ), όπου Ο σημείο του επιπέδου του τετραγώνου ΑΒΓΔ.

Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης » 1997

ΑΣΚΗΣΗ 14^η

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) με περίκεντρο το Ο και έγκεντρο το Ι. Αν Δ τυχαίο σημείο της πλευράς ΒΓ, τέτοιο ώστε η ΔΟ να είναι κάθετη στην ΒΙ, να αποδείξετε ότι ΓΔ = ΔΙ.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 1998

ΑΣΚΗΣΗ 15^η                                  

Έστω ένα κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ. Αν max = α, να αποδείξετε ότι 4α² ≥ ΑΓ² +ΒΔ².

Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης» 1998

ΑΣΚΗΣΗ 16^η

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90⁰). Εξωτερικά του τριγώνου κατασκευάζουμε το τετράγωνο ΒΓΔΕ και φέρουμε την εσωτερική διχοτόμο της γωνίας Α. Να αποδείξετε ότι η διχοτόμος χωρίζει το τετράγωνο σε δύο ισεμβαδικά τραπέζια.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 1999

ΑΣΚΗΣΗ 17^η                                   

Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R και Μ τυχαίο σημείο του τόξου ΑΒ που δεν περιέχει τα σημεία Γ και Δ. Να αποδείξετε ότι ο λόγος (ΜΑ + ΜΒ):(ΜΓ +ΜΔ)  είναι σταθερός.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης» 1999

ΑΣΚΗΣΗ 18^η   

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ , ΒΕ τα ύψη του , πάνω στα οποία παίρνουμε τα σημεία Μ, Ν τέτοια ώστε γωνΒΜΓ = γωνΑΝΓ = 90⁰  

α) να  αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΓΜΝ είναι ισοσκελές

β) αν ΜΝ = 4 + 2 και γωνΜΓΝ = 30⁰, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου  ΓΜΝ.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης» 1999

ΑΣΚΗΣΗ 19^η

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) με πλευρές α , β και γ που ικανοποιούν τη σχέση. Να αποδείξετε ότι μ_β  κάθετη   μ_γ, όπου μ_β,  μ_γ  οι διάμεσοι από τις κορυφές Β και Γ αντιστοίχως.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 2000

ΑΣΚΗΣΗ 20^η

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Κ , Λ εσωτερικά σημεία του τριγώνου, τέτοια ώστε  

                         (ΑΒΚ) = (ΑΓΚ) = (ΒΚΛ) = (ΓΚΛ) = (ΒΛΓ)

α) να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ και Λ ανήκουν στη διάμεσο ΑΔ του τριγώνου ΑΒΓ

β) αν Θ είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ , να βρείτε το λόγο ΚΘ :ΘΛ.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 2000

ΑΣΚΗΣΗ 21^η

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ .Ένας κύκλος που έχει χορδή την πλευρά ΒΓ τέμνει την πλευρά ΑΒ στο μέσο της Δ και την πλευρά ΑΓ στο σημείο Ε. Ένας άλλος κύκλος  C που έχει χορδή τη  ΓΕ  εφάπτεται της πλευράς ΒΓ στο σημείο Γ. Η προέκταση της ΔΕ τέμνει την ευθεία ΒΓ στο σημείο Ζ και τον κύκλο C στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες ΖΑ, ΒΕ και ΓΗ διέρχονται από το ίδιο σημείο. 

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης» 2000

ΑΣΚΗΣΗ 22^η

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ = 1 και γωνΒ =120⁰ και σημείο Δ της πλευράς ΑΓ, τέτοιο ώστε γωνΑΒΔ=90⁰ και ΔΓ = ΑΒ. Να βρείτε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος  ΑΔ.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 2001

ΑΣΚΗΣΗ 23^η

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ  εγγεγραμμένο σε κύκλο με ΑΒ = 2, ΑΓ = 2, ΒΓ = 3 και σημείο Δ της πλευράς ΒΓ, τέτοιο ώστε ΒΔ = 2ΔΓ. Η κάθετη στην ΑΔ στο σημείο Δ τέμνει το τόξο  στο σημείο Μ . Να υπολογίσετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΜ και ΜΓ  συναρτήσει του ΑΜ.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης»  2001

 ΑΣΚΗΣΗ 24^η                                                      

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90⁰) και Ζ το σημείο τομής του ύψους και της διχοτόμου ΓΕ. Αν Η είναι το σημείο τομής  των ΕΔ και ΒΖ να αποδείξετε ότι:

α) ΑΒ∙ΑΔ = ΑΒ∙ΑΖ + ΑΕ∙ΑΔ

β) (ΑΕΗΖ) = (ΒΗΔ).  

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 2002

ΑΣΚΗΣΗ 25^η

Έστω ορθή γωνία χΟψ και τα σημεία Α και Β (Α≠Ο και Β≠Ο) πάνω στις ημιευθείες Οχ και Οψ, τέτοια ώστε ΟΑ + ΟΒ = 2α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο Τ στο εσωτερικό της γωνίας χΟψ, τέτοιο ώστε                              (ΟΑΤΒ) = α² .                                                                                               

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης» 2002

ΑΣΚΗΣΗ 26^η

Από ένα σημείο Ρ εκτός κύκλου φέρουμε τις εφαπτόμενες ΡΑ, ΡΒ του κύκλου και την τέμνουσα ΡΓΔ. Αν (ΡΑΓ) = 3/2(ΡΒΓ) , να υπολογίσετε το λόγο (ΒΔΓ) : (ΑΔΓ).

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 2003

ΑΣΚΗΣΗ 27^η

Έστω αμβλυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Β > 90⁰) και πλευρά ΒΓ = R, όπου R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του .Αν μ_α είναι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην πλευρά ΒΓ ,να αποδείξετε ότι:

 Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 2003

ΑΣΚΗΣΗ 28^η

Δίνεται τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΓΔ = 6 και ΑΒ = χ, όπου χ ακέραιος. Αν οι διαγώνιοι ΑΓ και ΒΔ του τραπεζίου τέμνονται στο σημείο Ε και η παράλληλη από το Ε προς τις βάσεις τέμνει τις πλευρές ΑΔ και ΒΓ στα σημεία Ζ και Η, να βρείτε  για ποιες τιμές του χ το μήκος του ΖΗ είναι θετικός ακέραιος αριθμός.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης» 2003

ΑΣΚΗΣΗ 29^η

Έστω το κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ το σημείο τομής των διαγωνίων του .Αν η διχοτόμος της γωνίας ΑΓΔ τέμνει τη ΒΔ στο Λ και την προέκταση της πλευράς ΒΑ στο Κ και  ΜΑ∙ΜΓ + ΜΑ∙ΓΔ = ΜΒ∙ΜΔ , να αποδείξετε ότι γωνΒΚΓ = γωνΒΔΓ .

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης» 2003

ΑΣΚΗΣΗ 30^η

Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ , η διχοτόμος του ΒΕ και Μ το μέσο της ΕΓ. Αν Κ σημείο της πλευράς ΑΒ τέτοιο ώστε η διχοτόμος ΒΕ να τέμνει την ΜΚ στο μέσο της Ο .Να αποδείξετε ότι γωνΒΟΓ>90⁰. 

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής»  2004

ΑΣΚΗΣΗ 31^η

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με .Αν ο κύκλος με κέντρο Α και ακτίνα ΑΒ =γ τέμνει τη μεσοκάθετο της ΒΓ στο σημείο Δ στο εσωτερικό του τριγώνου, να αποδείξετε ότι:

α) β² – γ² > ½ α²

β) γωνΒΑΔ = 2γωνΔΑΓ .

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης» 2004

ΑΣΚΗΣΗ 32^η

Έστω κυρτή γωνία ΧΟΥ και Ρ εσωτερικό της σημείο. Αν ο κύκλος C που διέρχεται από τα σημεία Ο, Ρ και τέμνει τις πλευρές ΟΧ , ΟΥ στα σημεία Α και Β (διαφορετικά από το Ο), να αποδείξετε ότι ο λόγος ΑΒ : (ΡΑ + ΡΒ) είναι σταθερός για οποιαδήποτε θέση του κύκλου C.      

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 2005  

ΑΣΚΗΣΗ 33^η

Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ (ΑΔ ╫ ΒΓ ) με ΑΔ = ΒΓ  και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του .Να αποδείξετε  ότι υπάρχει σημείο Ρ Ο τέτοιο ώστε: 

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης» 2005