$abc + bcd + cda = 36$
$bcd + cda + dab = 54$
$cda + dab + abc = 60$
$dab + abc + bcd = 66$
να υπολογιστεί το άθροισμα
$a + b + c + d$.
Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Recreational Mathematics, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Με πρόσθεση κ.μ. των εξισώσεων, παίρνουμε:
ΑπάντησηΔιαγραφήabc+bcd+cda+dab=72 (1)
Με αφαίρεση κ.μ κάθε αρχικής εξίσωσης από την (1), παίρνουμε:
dab=36=2^2*3^2
abc=18=2*3^2
bcd=12=2^2*3
cda=6=2*3
Με πολλαπλασιασμό κ.μ των πιο πάνω παίρνουμε:
(abcd)^3=2^6*3^6 => abcd=2^2*3^2=36 (2)
ΜΕ διαίρεση κ.μ. της (2) με κάθε μερικό γινόμενο, παίρνουμε:
a=3, b=6, c=1, d=2, επομένως:
a+b+c+d=12
Τελικά, το βραβείο το πήρες εσύ Θανάση. Δεν άφησες το Μιχάλη να προσπαθήσει. 😀😀😀😀😀
ΑπάντησηΔιαγραφήΗ λύση ήταν πολύ απλή και πολύ αναλυτική για να χωρέσει στο περιθώριο που διαθέτει ο Μιχάλης, άσε που είχε και 4 μεταβλητές..😉
Διαγραφήabc+bcd+cda=36
ΑπάντησηΔιαγραφήbcd+cda+dab=54
cda+dab+abc=60
dab+abc+bcd=66
Προσθέτουμε κατά μέλη τις ανωτέρω εξισώσεις:
3*(abc+bcd+cda+dab=216 (5)
Διαιρούμε με το 3 και τα δύο μέλη της εξίσωσης (5) κι' έχουμε:
abc+bcd+cda+dab=72 (6)
Αντικαθιστούμε τις εξισώσεις (1), (2), (3), και (4) στη (5) κι' έχουμε:
dab+36=72 ===> dab=72-36 ===> dab=36 (7)
abc+54=72 ===> abc=72-54 ===> abc=18 (8)
bcd+60=72 ===> bcd=72-60 ===> bcd=12 (9)
cda+66=72 ===> cda=72-66 ===> cda=6 (10)
Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη τις (7), (8), (9) και (10). Θα βρούμε:
dab*abc*bcd*cda=36*18*12*6
dab*abc*bcd*cda=46.656
(abcd)^3 = 6^6.
Άρα abcd = 36 (*).
Διαιρούμε τώρα την (*) με την (7). Θα βρούμε c=1.
'Ομοια, διαιρούμε την (*) με την (8). Θα βρούμε d=2.
Όμοια διαιρούμε την (*) με την (9). Θα βρούμε a=3
Όμοια διαιρούμε την (*) με την (10). Θα βρούμε b=6.
Άρα:
a+b+c+d=? ===3+6+1+2=12