A high quality rubber band is fastened and hung from a horizontal pole with a cannonball at its end. Two facing ladybugs are crawling along this rubber band toward each other.
From their respective starting positions (8 cm apart -- see image), each small beetle crawls toward the other at a speed of 1 cm per second. However, in the length of time each beetle crawls 1 cm, the cannonball, thanks to the force of gravity, stretches the rubber band an additional 8 cm. Will the poor ladybugs ever meet? And, if yes, when? If not, why?!
Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε τις πασχαλίτσες σημειακές. Το κάτω άκρο της ταινίας έχει ταχύτητα 8 cm/s. Αν xo είναι η προσημασμένη απόσταση ενός σημείου της ταινίας από το άνω άκρο της (θεωρούμε την κατεύθυνση προς τα πάνω ως θετική) , τότε ισχύει xo/(l+8t)=Δxo/Δl, όπου l το αρχικό μήκος της ταινίας, t ο χρόνος και Δxo,Δl οι μετατοπίσεις του σημείου xo και του κάτω άκρου της ταινίας λόγω της επιμήκυνσης. Άρα η στιγμιαία ταχύτητα του σημείου xo είναι dxo/dt=(xo*dl/dt)/(l+8t)=8xo/(l+8t). Η συνισταμένη ταχύτητα της κάτω πασχαλίτσας είναι dx1/dt=1 + 8x1/(l+8t) και της πάνω πασχαλίτσας dx2/dt=-1 + 8x2/(l+8t), επομένως αφαιρώντας κατά μέλη και αλλάζοντας μεταβλητές, y=x1-x2 και u=l+8t , έχουμε: dy/du=1/4 + y/u και πολλαπλασιάζοντας κάθε μέλος με 1/u παίρνουμε : (1/u)dy/du - y/u^2=1/4u, άρα d(y/u)/du=1/4u. Επομένως y/u=(lnu)/4 + c (u=l+8t>0) και y=(ulnu)/4 +cu . Όταν t=0, τότε u=l=8 , y=-l=-8 και άρα c=-1-(ln8)/4. Θέτοντας y=x1-x2=0 παίρνουμε (lnu)/4=1+(ln8)/4 και u=8e^4. Επομένως l+8t=8+8t=8e^4, άρα t=e^4 - 1.
ΑπάντησηΔιαγραφή