Πέμπτη, 20 Δεκεμβρίου 2018

Γ΄ Λυκείου: Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών 2018

Πρόβλημα 1
Έστω πραγματική συνάρτηση, συνεχής στο διάστημα και ομόσημοι πραγματικοί αριθμοί.
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
   
έχει λύση στο διάστημα .

Πρόβλημα 2
i. Να αποδείξετε ότι κάθε πρώτος αριθμός γράφεται ως ή , για κάποιον θετικό ακέραιο .
ii. Δίνονται οι αριθμοί , όπου πρώτος αριθμός. 
Να βρείτε όλες τις τριάδες τέτοιες, ώστε οι να είναι πρώτοι αριθμοί.

Πρόβλημα 3
Δίνεται ορθογώνιο τραπέζιο . Έστω το συμμετρικό του ως προς το . Έστω ακόμα το μέσον του και η ορθή προβολή του πάνω στην . Αν η τέμνει την στο , να αποδείξετε ότι οι γωνίες και είναι ίσες.

Πρόβλημα 4
Έστω μια ακολουθία ακεραίων τέτοια, ώστε , για
Να αποδείξετε ότι κάθε θετικός ακέραιος είναι ίσος με μια διαφορά της μορφής για κάποια και .

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου