JBMO Shortlist 2015 - Άλγεβρα και Θεωρία Αριθμών

ΑΛΓΕΒΡΑ

A1 (Μολδαβία)

Έστω πραγματικοί αριθμοί που ικανοποιούν 

, και . Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του γινομένου .

Α2 (Αλβανία) 

Αν τότε να βρείτε την τιμή της παράστασης 

.

A3 (Mαυροβούνιο)

Έστω θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Να δείξετε ότι 

Α4 (Ελλάδα, Σ.Μ.)

Οι θετικοί πραγματικοί είναι τέτοιοι ώστε . Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της παράστασης

. 

A5 (FYROM)

Οι θετικοί πραγματικοί είναι τέτοιοι ώστε . Να αποδείξετε ότι 

.

Το πρόβλημα Α4 τέθηκε στον διαγωνισμό σαν πρόβλημα 2. 

Το πρόβλημα Α2 αποκλείστηκε από τη λίστα.

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΝΤ1. (Σαουδική Αραβία)

Δίνεται ένα σύνολο με διαδοχικούς ακεραίους. Ποιο είναι το μέγιστο δυνατό (σε πληθάριθμο) υποσύνολό του ώστε να μην υπάρχουν δύο στοιχεία του υποσυνόλου που το άθροισμά τους να διαιρείται από τη διαφορά τους.

ΝΤ2. (Βουλγαρία) 

Να αποδείξετε ότι ο αριθμός διαιρείται με το αν και μόνο αν το διαιρείται με το .

NT3. (Αλβανία) 

Δίνονται θετικοί ακέραιοι. Να αποδείξετε ότι το γινόμενο όλων των διαφορών από τα όλα τα πιθανά ζεύγη, διαιρείται από το

NT4. (Μολδαβία) 

Να βρεθούν όλοι οι πρώτοι αριθμοί και οι θετικοί ακέραιοι για τους οποίους ισχύει: 

NT5. (Μαυροβούνιο) 

Να εξετάσετε αν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι και πρώτος αριθμός ώστε . 

Σχόλιο: Το ΝΤ1 το είχα βρει το προηγούμενο βράδυ σε ένα βιβλίο και το βγάλαμε εκτός λίστας. 

Το ΝΤ4 ήταν το πρόβλημα 1 του διαγωνισμού.

Πηγή