Στα περισσότερα κοσμηματοπωλεία τα ρολόγια που βρίσκονται κρεμασμένα έξω από το κατάστημα δείχνουν ότι η ώρα είναι 20 λεπτά περίπου μετά τις 8, όπως φαίνεται στην εικόνα.
Αν ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης απέχουν ίση απόσταση από την ώρα 6, τότε τι ώρα είναι ακριβώς?
Μία καθαρά αλγεβρική λύση είναι η ακόλουθη:
ΑπάντησηΔιαγραφήΑν α η ταχύτητα του ωροδείκτη, τότε η ταχύτητα του λεπτοδείκτη είναι 12*α.
Οι δύο δείκτες συμπίπτουν ώρα 12:00
Στη θέση του προβλήματος, έστω ότι η ώρα είναι Χ. Τότε η διανυθείσα απόσταση του ωροδείκτη είναι α*Χ, και του λεπτοδείκτη 12α*Χ.
Αν θεωρήσουμε κ το μήκος της περιφερειας του ρολογιού, και υ την απόσταση των δεικτών από την ώρα 6, τότε:
α*Χ=0,5*κ+υ
12α*Χ=8*κ+0,5*κ-υ
Με επίλυση των εξισώσεων προκύπτει Χ=9/13 ώρες, δηλαδή η ζητούμενη ώρα είναι 8+18'+29''
Υποθέτω ότι πιθανόν να υπάρχει και απλούστερη, λιγότερο "αλγεβρική" λύση;
Στράτο η λύση που δίνεις είναι σωστή. Απλώς η διαφορά είναι περίπου 2΄΄ λιγώτερο, ήτοι:
Διαγραφή8+18΄+27(9/13)''
Ναι, περίπου
ΑπάντησηΔιαγραφήΑφού ο ωροδείκτης και ο λεπτοδείκτης απέχουν ίση απόσταση από την ώρα $6$, να το ωροδείκτης μετακινηθεί κατά $a$, ο λεπτοδείκτης θα έχει μετακινηθεί κατά $(20-a)/12$ →
$a =(20-a)/12$ →$a=20/13$, άρα ο λεπτοδείκτης δείχνει
$20-20/13=240/13=18.46153846$
Άρα η ώρα είναι $8:18:27$ και $6.9/10$ του δευτ.
Ευθύμη σωστή η λύση με μια μικροδιαφορά στα δέκατα του δευτερολέπτου.
Διαγραφή$9/13=0.69230...≃0.69=6.9/10$
ΔιαγραφήΑν εννοείς αυτό Κάρλο, ναι. Αλλά θα πούμε ενενήντα δεκατατρίτα δέκατα?.
Μία πιο σύντομη και "διαισθητική" λύση είναι η εξής:
ΑπάντησηΔιαγραφήΑφού οι δύο δείκτες ισαπέχουν από την ώρα 6, άρα ισαπέχουν και από την ώρα 12, έστω απόσταση Χ.
Αρα, από τις 12 ως τη ζητούμενη ώρα, ο λεπτοδείκτης διήνυσε απόσταση 8+Χ και ο ωροδείκτης απόσταση 1-Χ, σύνολο 9 κύκλοι, που ισούται με 12+1=13 κύκλοι επί τον απαιτούμενο χρόνο t. Αρα t=9/13
Το πρόβλημα είναι του Sam Loyd από το βιβλίο:
ΑπάντησηΔιαγραφήA Question Of Time (S646)
From the book "More Mathematical Puzzles of Sam Loyd"
Edited by Martin Gardner
From: Dover Publications in 1960