Δευτέρα, 13 Ιανουαρίου 2014

Τέλεια τετράγωνα

Πόσοι αριθμοί τέλεια τετράγωνα (μεγαλύτεροι του 10), υπάρχουν στον παρακάτω πίνακα;
98658233496072292268 
20544676380396288966 
71979715771354962511 
83166534941498633179 
94324508646469911411 
25882435569427028761 
10195876760569466027 
34136562163445488353 
Artist

1 σχόλιο:

  1. Πολύ ενδιαφέρον γρίφος! Δεν συνηθίζω να συμμετέχω ως λύτης στο eisatopon ,αλλά όπως λέει κι ο Γαλάτης συνάδελφος (τω πνεύματι άμα τε και τω σώματι..:-) ) Οβελίξ «μπορεί να είμαι πολιτισμένος, αλλά πρέπει και να κοπανάω κανέναν πού και πού!» οπότε λέω ν’ασχοληθώ μ’αυτόν, αριθμαλκοολικός γαρ..
    Ένας γρήγορος τρόπος να ελέγξουμε αν ένας μεγάλος αριθμός είναι τετράγωνο είναι να τσεκάρουμε τα 2 τελευταία ψηφία του . Αν δεν ανήκουν στα 22 δυνατά σε mod100 ,ο αριθμός δεν είναι τετράγωνος. Αυτά βέβαια είναι τα 10 εύκολα (00,01,04,09,16,25,..,81) και άλλα 12 πιο δύσκολα ,τα: 21,24,29,41,44,56,61,69,76,84,89,96
    Πιθανοτικά μιλώντας , βλέπουμε πως η πιθανότητα ένας τυχαίος αριθμός να περάσει αυτό το τεστ είναι μόλις 22/100 ,όχι κι άσχημα και γλυτώνουμε και τη Γουλφραμάλφα από υπερφόρτωση! :-)
    Οπότε η 1η σειρά/αριθμός ξεκινάμε να τσεκάρουμε από δεξιά προς αριστερά ανά 2 ψηφία
    98658233496072292268 ---> 68,26,22,…,60, 96 (υποψήφιο για τετράγωνο οπότε σταματάμε)
    Τώρα απλά προσθέτουμε ένα ψηφίο κάθε φορά και τσεκάρουμε για «τετραγωνισιμότητα» σε mod9 .Tα τετράγωνα mod9 τελειώνουν σε :0, 1,4 ή 7 και ως γνωστόν το άθροισμα των ψηφίων mod9 ταυτίζεται με τον αριθμό σε mod9. Oπότε τσεκάρουμε εύκολα πως ο 98658233496 είναι 0mod9 , και 0mod7 (παραμένει «υποψήφιος» αφου τα τετράγωνα mod7 είναι {0,1,2,4} ) οπότε καταφεύγουμε στο μεγάλο «μυστικό κόλπο» που παρουσιάζω εδώ σε παγκόσμια αποκλειστικότητα (όποιος θέλει να μ’ευχαριστήσει μπορεί να απευθυνθεί στο Σωκράτη για το paypal μου..) Λόγω του ότι $1001=7*11*13$ άρα $1000=-1 mod(7*11*13)$ , αν χωρίσουμε τα ψηφία ενός αριθμού $ν$ σε τριάδες (από αριστερά προς δεξιά) και αλλεπάλληλα προσθέτοντας και αφαιρώντας τις τριάδες ,ελέγχουμε εύκολα για «τετραγωνισιμότητα» modulo 7 , 11 και 13. Κανένας αριθμός (υποσύνολο) του 98658233496 δεν περνάει τα «τεστ» οπότε δεν υπάρχει τετράγωνο και συνεχίζουμε πιο κάτω.
    49 στοπ ξανά --- έλεγχος σε mod9 ή ανα τρεις με +- σε mod 7,11,13---όχι!
    Συνεχίζουμε: 34, 33,23,82,58,65,86,98 τέλος! Κανένα τετράγωνο! (>10)
    Δεν έχω κουράγιο να κάνω και τον δεύτερο ,αλλά αφού ο πρώτος υποψήφιος ο
    $2054467638039628896$ είναι$ 6 mod9$ άρα γιοκ…ψυλιάζομαι πως δεν έχουμε ούτε εδώ τετράγωνο ,ούτε στους αποκάτω…

    ΑπάντησηΔιαγραφή