▪Παραγωγίσιμη και κυρτή

a) Έστω $f\text{:}\left[\text{0,}\infty\right)\to\left[\text{0,}\infty\right)$ μία παραγωγίσιμη και κυρτή συνάρτηση. Να αποδειχθεί ότι αν $ f\left( x\right)\le x $, για κάθε $ x\ge 0 $, τότε $ {f}'\left( x\right)\le 1 $, για κάθε $ x\ge 0 $. 

b) Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες και κυρτές συναρτήσεις 

$f\text{:}\left[\text{0,}\infty\right)\to\left[\text{0,}\infty\right)$, για τις οποίες ισχύουν 

$ f(0)=0$ και ${f}'\left( x\right)f\left( f\left( x\right)\right)=x$ 

για κάθε $ x\ge 0 $.

Romania National Mathematical Olympiad 2013

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com