Τετάρτη, 16 Μαΐου 2012

▪ Ανισότητες και διαγωνισμοί

D.HILBERT:
"O κανόνας στην φύση είναι η διάταξη, η ισότητα είναι μερική περίπτωση".
Η Ισχυρή Μέθοδος απόδειξης μίας ανισότητας είναι η εξής γνωστή από τη Μαθηματική Λογική (ΟΧΙ την φορμαλιστική μαθηματική λογική): 
ΘΕΩΡΟΥΜΕ ότι η ανισότητα που θέλουμε να αποδείξουμε είναι ΑΛΗΘΗΣ πρόταση. Στην συνέχεια δημιουργούμε μια ακολουθία σχέσεων (Έχοντας συνεχώς εστραμμένη την προσοχή μας στις υποθέσεις-δεδομένα του προβλήματος που μας οδηγούν στις κατάλληλες θεωρητικές κατευθύνσεις) που συνδέονται μεταξύ τους με το ρήμα ΑΡΚΕΙ, ώστε από κάθε μια από αυτές να προκύπτει η προηγούμενη της. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται μέχρι να καταλήξουμε σε μία σχέση πού να είναι αληθής πρόταση. Σε αυτό το σημείο έχουμε ουσιαστικά τελειώσει. Οι άλλες μέθοδοι επί της ουσίας μπορούν να μετατραπούν στην προηγούμενη μέθοδο.
Ας δούμε τώρα ορισμένα προβλήματα που ζητούν απόδειξη Ανισότητας με ΣΚΕΨΗ και ΛΥΣΗ:
1) ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2 (από την Ι.Μ.Ο):
Να αποδειχθεί ότι:
 
για όλους τους θετικούς πραγματικούς αριθμούς a,b,c.
ΣΚΕΨΗ:
Έχουμε τρεις όρους στον καθένα από τους οποίους υπάρχουν ταυτόχρονα κλάσμα και τετραγωνική ρίζα στον παρονομαστή. Άρα χρειαζόμαστε την Ανισότητα Β.C.S (Buniakowski-Cauchy-Schwarz) για n=3 με σκοπό την απαλοιφή των τετραγωνικών ριζών. Αν σκεφτούμε λίγο για να θυμηθούμε την B.C.S.
 
θα οδηγηθούμε στην λύση πού ακολουθεί με βασική επιδίωξη την μεγαλύτερη δυνατή και συνεχή τάση απλοποίησης των συμπερασμάτων που προκύπτουν. 
ΛΥΣΗ: 
Αν θεωρήσουμε τις αντικαταστάσεις 
Α=
και 
Β=,
η Ανισότητα B.C.S. μας οδηγεί στην εξής σχέση:
οπότε αρκεί να αποδειχθεί ότι: 
Β  
(λόγω της μορφής του Β “κολλάμε” στο να θέλουμε το Β υψωμένο στο τετράγωνο ώστε να έχουμε απλοποιήσεις), με 
=
(επειδή αυτή ήταν η λύση πού είχα δώσει προσωπικά θα ήθελα να εξηγήσω το προηγούμενο βήμα: θα έπρεπε να δημιουργηθούν γινόμενα ίδιου τύπου ώστε να ενισχυθεί το πράγμα πού οδήγησε σε μετασχηματισμό του τύπου: 
και έτσι εφαρμόστηκε και πάλι την ανισότητα B.C.S.). 
Εδώ θα θέλαμε την ενίσχυση του 
 
σε
 
ώστε να πάρουμε
  .
Έτσι χρησιμοποιούμε την γνωστή πλέον διαδικασία: 
καθότι
 .
Άρα πράγματι παίρνουμε 
.
Με βάση τις σχέσεις (1) και (2) λαμβάνουμε: 
.
2) ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3 (από την Β.Μ.Ο): 
Έστω a,b,c θετικοί πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε
.
Να αποδειχθεί ότι : .
ΣΚΕΨΗ:
Επειδή έχουμε εμπλοκή του αριθμού 3 επιζητούμε ταυτότητα ή ανισότητα που να συμμετέχουν τετράγωνα αριθμών αλλά και ο αριθμός 3. Mία τέτοια ανισότητα είναι η σχέση (2) που βλέπουμε στην λύση πού ακολουθεί. Έτσι έχουμε:
ΛΥΣΗ:
Αρχικά ισχύει ότι
 
για κάθε τριάδα πραγματικών αριθμών x ,y ,z .
Επίσης γνωρίζουμε ότι ισχύει:
 
για κάθε τριάδα x.y.z πραγματικών αριθμών. Η ζητούμενη σχέση είναι ισοδύναμη με την
 
οπότε λόγω της (2) ΑΡΚΕΙ να αποδειχθεί ότι: 
ή λόγω της (1) ΑΡΚΕΙ ΝΑ ΑΠΟΔΕΙΞΟΥΜΕ ΟΤΙ: 
που είναι αληθής πρόταση από την υπόθεση.
3) ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ (για συζήτηση) 
Έστω τρεις θετικοί πραγματικοί αριθμοί κ,λ,μ. Να αποδειχθεί ότι: 
.
ΣΚΕΨΗ:
Αν υποθέσουμε ότι τότε η παραπάνω ανισότητα “τείνει” να γίνει ισότητα ,πράγμα πού σημαίνει ότι δεν υπάρχει θετικός αριθμός πού να προστεθεί στο β-μέλος και να δώσει πιο “σφικτή” ανισότητα. Αυτό ισχύει (με αυστηρότερο τρόπο) διότι: Αν υπήρχε τουλάχιστον ένας ε>0, προστιθέμενος στο δεύτερο μέλος τέτοιος πού το πρώτο μέλος να γινόταν μεγαλύτερο ή ίσο του δεύτερου μέλους και παίρναμε τα όρια και των δύο μελών όταν θα είχαμε , πράγμα άτοπο. Εδώ επειδή έχουμε "περιπλοκότητα" παραστάσεων σε συνδυασμό με μια τουλάχιστον σκέψη για μια τουλάχιστον λύση είναι να κάνουμε αντικαταστάσεις ώστε να έχουμε γνωστότερου τύπου αντιμετώπιση.
ΛΥΣΗ:
Η σχέση πού θέλουμε να αποδειχθεί είναι ισοδύναμη με την  
με 
Αρκεί λοιπόν να αποδειχθεί ότι:
  ……(1).
Θεωρούμε τις αντικαταστάσεις (με σκοπό να απλοποιηθεί η σχέση (1)),
 
και διαπιστώνουμε ότι η σχέση (1) γίνεται
  ……. (*), 
όταν οι είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί. Ένας τρόπος απόδειξης της (*) είναι ο τρόπος πού ακολουθεί: Αν έχουμε: 
κυκλικά προκύπτουν οι σχέσεις
   
που μας οδηγούν στο συμπέρασμα ότι οι θετικοί αριθμοί a,b,c είναι πλευρές τριγώνου. Ισχύει η προφανής ανισότητα
 
Άρα ισχύουν οι σχέσεις:
  ,
oπότε αν αυτές τις προσθέσουμε κατά μέλη ,θέτοντας 2τ=a+b+c (περίμετρος) και διαιρέσουμε και τα δυο μέλη με 2, έχουμε ότι (*).
Εδώ κατανοούμε ότι το πρόβλημα τελείωσε κάνοντας την μεθοδολογική διαπίστωση του ενδεχομένου της “γεωμετρικοποίησης” ενός αλγεβρικού θέματος. Όμως υπάρχει επίσης το ενδεχόμενο το πρόβλημα αυτό να λύνεται και με άλλη μέθοδο πράγμα πού θα επιθυμούσαμε στα πλαίσια των Μαθηματικών μας διαλόγων.
S.E.Louridas
Πηγή: mathematica

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου