▪ Χρήσιμες επισημάνσεις στις Πιθανότητες

Του Αντώνη Κυριακόπουλου

Έστω ότι Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός (περασμένου) δειγματικού χώρου Ω με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να αποδείξετε ότι:

1) Αν , τότε P(Α)<P(Β).

2) Αν P(Α)=1, τότε Α = Ω.

3) Αν P(Α)=0, τότε .

4) Αν και P(Α)= P(Β),τότε Α=Β.

• Ισχύουν οι παραπάνω προτάσεις αν τα απλά ενδεχόμενα δεν είναι ισοπίθανα;
Λύση

1) Έχουμε:

.

2) Έστω ότι P(Α)=1. Έχουμε: . Έστω ότι . Τότε P(Α)<P(Ω), δηλαδή 

1<1, άτοπο. Άρα Α = Ω.

3) Έστω ότι P(Α)=0 και ότι . Τότε:

, άτοπο. Άρα .

4) Έστω ότι. και P(Α)= P(Β). Έχουμε:

, άτοπο.
Άρα Α=Β.
• Καμία από τις παραπάνω προτάσεις δεν ισχύει αν τα απλά ενδεχόμενα δεν είναι ισοπίθανα. 

Πράγματι, θεωρούμε το δειγματικό χώρο και τη συνάρτηση πιθανότητας P με: 

, , και .

1) Με και , έχουμε: , αλλά P(Α)= P(Β).

2) Με , έχουμε: P(Α)=1, αλλά ().

3) Με , έχουμε: P(Α)=0, αλλά .

4) Με και , έχουμε: και P(Α)= P(Β), αλλά .

Πηγή: mathematica