Τετάρτη, 25 Απριλίου 2012

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου

1. Δίνεται , και η συνεχής πραγματική συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι
  .
α) Nα μελετηθεί ως προς την μονοτονία και να βρεθεί το πρόσημο της για τις διάφορές τιμές του .
β) Να μελετηθεί ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής.
γ) Να λυθει η ανισότητα .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
2. Δίνεται η συνάρτηση
   
και η
  .
α) Nα μελετηθεί ως προς την μονοτονία η .
β) Nα δείξετε ότι
  .
γ) Nα υπολογιστούν τα 
.
δ) Nα δείξετε ότι
  .
ε) Nα δείξετε οτι αν
   
τότε .
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
3. Δίνεται η συνάρτηση .
α) Nα βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο .
β) Nα εξετάσετε την μονοτονία και να βρείτε τις ασύμπτωτες της .
γ) Aν θεωρήσουμε την συνάρτηση , να βρεθεί το πρόημο της και η σχετική θέση των και εφαπτομένης του πρώτου ερωτήματος.
δ) Να δείξετε ότι
  .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
4. Α) Δίνεται συνεχής συνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση: 
.
A1) να αποδείξτε οτι είναι παρ/μη.
Α2) να δείξετε οτι πρόκειται για την συνάρτηση
  .
Β) Δίνεται συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει
  .
Β1) δείξτε οτι
Β2) υπάρχει
B3) η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον λύση στο .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
5. Αν f συνεχής πραγματική συνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση
, .
α) Nα βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του μιγαδικού .
β) Tην συνάρτηση που έχει γραφική παράσταση τον ανωτέρω γ.τ.
γ) Το εμβαδόν της των αξόνων και της ευθείας .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
6. Δίνεται η παραγωγίσιμη, στο σύνολο των πραγματικών αριθμών συνάρτηση, , που ικανοποιεί την σχέση

α) Να βρεθεί ο τύπος της .
β) Nα αποδειχθεί οτι έχει 2 τοπικά ακρότατα και 1 σημείο καμπής του οποίου και να βρεθεί η θέση.
γ) Αποδείξτε οτι η τέμνει τουλάχιστον 1 φορά τον πραγματικό άξονα.
δ) Αν η ευθεία είναι εφαπτομένη της στο σημείο , να υπολογιστούν οι τιμές των και το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
7. α) Nα μελετηθεί ως προς την συνέχεια η συνάρτηση με τύπο:
όπoυ είναι τρις παραγωγίσιμη συνάρτηση στο με .
β) Αν υποθέσουμε ότι
   
τότε υπάρχει έναι τουλάχιστον .
γ) Nα δειχθεί οτι η είναι παραγωγίσιμη στο 0 και υπάρχει ένα τουλάχιστον
  .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
8. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση , η συνάρτηση
   
και οι μιγαδικοί αριθμοί .
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και να υπολογίσετε την .
β) Αν , δείξτε ότι ο μιγαδικός zw είναι φανταστικός.
γ) Αν και η είναι κυρτή δείξτε ότι:
.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
9. Δίνονται οι συναρτήσεις συνεχείς στο , για τις οποίες ισχύουν
  .
Να αποδειχθούν τα εξής:
α)  .
β) Η γραφικη παράσταση της έχει εφαπτομένη παράλληλη με τον άξονα .
γ) Yπάρχει .
δ) H παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στην θέση .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
10. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη και γνησίως αύξουσα στο , για την οποία ισχύει:
 .
α) Να αποδείξετε ότι .
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν .
γ) Να αποδείξετε ότι .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
11.Δίνεται συνάρτηση δύο φoρές παραγωγίσιμη  ώστε
 
και η παραγωγίσιμη συνάρτηση .
Α) Nα αποδειχθεί οτι η συνάρτηση
   
ειναι σταθερή.
B) Να βρεθεί η συνάρτηση .
Γ) Aν η γραφική παράσταση της περνά απο το σημείο τότε .
Δ) Να βρεθεί το εμβαδόν μεταξύ .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
12. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση με ώστε να ισχύει
1) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) Να υπολογιστεί το και το

3) To εμβαδόν μεταξύ των συναρτήσεων
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
13. A) Nα αποδείξετε ότι για κάθε συνεχή συνάρτηση στο ισχύει ότι 
B) Δίνεται η παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο ώστε
1) Δείξτε ότι
2) Δείξτε ότι
 
3) Δείξτε ότι
)
4) Δεν υπάρχει το όριο
  .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
14. Έστω η συνάρτηση η οποία είναι δις παραγωγίσιμη στο και η ευθεία είναι εφαπτομένη της στο σημείο .
Eπίσης ισχύουν οι σχέσεις
1)
2)
A) Nα βρεθούν οι τιμές
 
B) Να δειχθεί ότι
 
Γ)
Δ)
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
15. Δίνεται παραγωγίσιμη στο με την γνήσια φθίνουσα στο 
ίδιο διάστημα και .
Oρίζουμε την συνάρτηση
Nα αποδείξετε ότι:
1) Η είναι συνεχής στο σημείο .
2) .
3) είναι γνήσια αύξουσα.
4) .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
16. Δίνεται συνεχής συνάρτηση ώστε να ισχύει η σχέση
.
A) Nα αποδειχθεί ότι είναι παραγωγίσιμη και να βρεθεί ο τύπος της.
B) Θεωρούμε τις συνεχείς συναρτήσεις που ικανοποιούν την σχέση
B1) Nα αποδειχθεί ότι
   
και να εξεταστεί η σχετική θέση των .
B2) Nα αποδειχθεί ότι υπάρχει ώστε το εμβαδόν του χωρίου που καθορίζεται από τις και τις ευθείες να είναι ίσο με .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
17) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση , με , ώστε να ισχύει η σχέση: 
Να αποδείξετε ότι:
1) .
2) .
3) Αν τότε:
α) Η f είναι κυρτή.
β)Δεν υπάρχουν στη γραφική παράσταση της f τρία διαφορετικά σημεία τα οποία να είναι συνευθειακά.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
18) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση με για κάθε , τέτοια ώστε να ισχύει:
   και .
1) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης.
2) Να δείξετε ότι
  .
3) Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο για την οποία ισχύει:
 
τότε: 
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι κοίλη στο .
β) Να δείξετε ότι: 
.
γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση
   
έχει το πολύ μια πραγματική ρίζα.
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
19) H υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου εφάπτεται της γραφικής παράστασης της συνάρτησης , για την οποία ισχύει η σχέση
Η μια κάθετη πλευρά έχει μήκος και βρίσκεται στον θετικό ημιάξονα , ενώ η άλλη κάθετη πλευρά έχει μήκος .
1) Αν το σημείο επαφής να δειχθεί ότι ικανοποιούν την σχέση .
2) Nα βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει ότι 
 
με όπως προηγουμένως και .
3) Ποιες συντεταγμένες πρέπει να έχει το σημείο επαφής ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου που σχηματίζεται από τον παραπάνω γ.τ. και τις κάθετες πλευρές να είναι μέγιστο;
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
20) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο με .
1) Να δειχθεί ότι είναι γνήσια φθίνουσα στο
2) Αν είναι δύο απλά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου , με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα ώστε , να δειχθεί ότι
3) Aν
   
να βρεθεί η πιθανότητα να μην πραγματοποιείται κανένα από τα ενδεχόμενα .
4) Να υπολογιστεί το όριο
  .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
21) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο
 
Να βρεθούν:
1) ο τύπος της συνάρτησης
2) η τιμή και να ελεγχθεί η συνέχεια το σημείο
3) η τιμή
4) η μονοτονία/καμπυλότητα της συνάρτησης
5) ισχύει ότι 
5) τα .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
22) Δίνεται η συνεχής (στο ) συνάρτηση , για την οποία ισχύει ότι
 
Nα αποδειχθεί ότι: 
1)
2)
3) Yπάρχει ένα τουλάχιστον
  .
4) Αν γνωρίζουμε ότι υπάρχει η αντίστροφη της τότε
  .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
23) Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις
 
 
1) Nα βρεθούν οι τύποι των συναρτήσεων
2) Nα μελετηθούν ως προς την μονοτονία oι
Να δειχθούν:
i) , αν δίνεται οτι η διέρχεται από το σημείο

ii) και .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
24) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει η σχέση: 
.
 , να αποδειχθεί ότι:
1)
2)
3)
και να υπολογιστούν:
4) το εμβαδό του χωρίου που περιλαμβάνει τις και τις ευθείες
5) το όριο .
6) το όριο .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
25) Έστω συνάρτηση , η οποία είναι παραγωγίσιµη και κυρτή στο µε και 
.
1) Να αποδείξετε ότι για κάθε .

2) Να αποδείξετε ότι 
.
3) Αν επιπλέον ισχύει
   
για κάθε , τότε:
i) Να αποδείξετε ότι
  .
ii) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία την συνάρτηση
  .
και να λύσετε στο την ανίσωση
  .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
26) Δίνονται οι συναρτήσεις με:
και η παραγωγός της
.
1) Nα εξεταστεί αν η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο .
2) Να αποδειχθεί ότι 
.
Aν επιπλέον γνωρίζουμε ότι
  .
να αποδειχθούν τα κάτωθι:
3)
4)
5)
6)
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
27) Δίνονται οι συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει:
1) Δείξτε ότι οι είναι παραγωγίσιμες οταν και ότι
  .
2) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης
  .
3) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την τους άξονες και την ευθεία .
4) Να βρεθεί το όριο 
.
5) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης
6) Δείξτε ότι
  .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
28) Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι
Να αποδειχθούν τα ακόλουθα:
1)
2)
3)
4) .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
29) Δίνεται η συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο και για την οποία ισχύει
.
1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης.
2) Να εξετάσετε την συνάρτηση
   
ως προς τη μονοτονία.
3) Nα αποδειχθεί ότι
   
και να υπολογιστεί το
  .

4) Αν για την συνεχή συνάρτηση ισχύει
 
να δείξετε ότι υπάρχει
  .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
30) Θεωρούμε τις συναρτήσεις
  .
1) Να μελετηθεί η ως προς τη κυρτότητα για , επίσης να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το ακρότατο της.
2) Nα βρείτε το πλήθος των ακροτάτων της για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου .

3) Να υπολογίσετε τα όρια 
.
4) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 
.
5) Για , να υπολογίσετε το εμβαδόν του επίπεδου χωρίου που περικλείεται από την τον άξονα των και τις ευθείες και .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
31) Δίνεται η συνάρτηση , συνεχής στο κλειστό διάστημα , παραγωγίσιμη στο με 
.

1) Αν , να δείξετε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός τέτοιο ώστε 

να ισχύει
  .
2) Να δείξετε ότι υπάρχουν τέτοια ώστε να ισχύει 
.
3) Αν επιπλέον για τη συνάρτηση ισχύει η σχέση
  .
i) Nα βρεθεί ο τύπος της.
ii) Να δείξετε ότι
  .
iii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της και τις ευθείες 
.
iv) Nα αποδειχθεί η σχέση
  .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
32) Δίνεται η συνάρτηση
  .
1) Να δείξετε ότι:
  .
2) Θεωρώντας την συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα , να λύσετε την ανίσωση:
3) Θεωρούμε την
 
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την , τον άξονα και τις ευθείες .
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
33)  Δίνεται η συνάρτηση
  .
α. Να δείξετε ότι η είναι συνεχής στο .
β. Να δείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο .
γ. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο .
Έστω ο μιγαδικός αριθμός , και ο πραγματικός αριθμός
 
Να δείξετε ότι:
α.
β. .

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου