Τετάρτη, 25 Απριλίου 2012

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου

 Επιμέλεια:  erxmer
1. Δίνεται , και η συνεχής πραγματική συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι
  .
α) Nα μελετηθεί ως προς την μονοτονία και να βρεθεί το πρόσημο της για τις διάφορές τιμές του .
β) Να μελετηθεί ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής.
γ) Να λυθει η ανισότητα .
2. Δίνεται η συνάρτηση
   
και η
  .
α) Nα μελετηθεί ως προς την μονοτονία η .
β) Nα δείξετε ότι
  .
γ) Nα υπολογιστούν τα 
.
δ) Nα δείξετε ότι
  .
ε) Nα δείξετε οτι αν
   
τότε .

3. Δίνεται η συνάρτηση .
α) Nα βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο .
β) Nα εξετάσετε την μονοτονία και να βρείτε τις ασύμπτωτες της .
γ) Aν θεωρήσουμε την συνάρτηση , να βρεθεί το πρόημο της και η σχετική θέση των και εφαπτομένης του πρώτου ερωτήματος.
δ) Να δείξετε ότι
  .
4. Α) Δίνεται συνεχής συνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση: 
.
A1) να αποδείξτε οτι είναι παρ/μη.
Α2) να δείξετε οτι πρόκειται για την συνάρτηση
  .
Β) Δίνεται συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει
  .
Β1) δείξτε οτι
Β2) υπάρχει
B3) η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον λύση στο .
5. Αν f συνεχής πραγματική συνάρτηση που ικανοποιεί την σχέση
, .
α) Nα βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος της εικόνας του μιγαδικού .
β) Tην συνάρτηση που έχει γραφική παράσταση τον ανωτέρω γ.τ.
γ) Το εμβαδόν της των αξόνων και της ευθείας .
6. Δίνεται η παραγωγίσιμη, στο σύνολο των πραγματικών αριθμών συνάρτηση, , που ικανοποιεί την σχέση

α) Να βρεθεί ο τύπος της .
β) Nα αποδειχθεί οτι έχει 2 τοπικά ακρότατα και 1 σημείο καμπής του οποίου και να βρεθεί η θέση.
γ) Αποδείξτε οτι η τέμνει τουλάχιστον 1 φορά τον πραγματικό άξονα.
δ) Αν η ευθεία είναι εφαπτομένη της στο σημείο , να υπολογιστούν οι τιμές των και το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ .
7. α) Nα μελετηθεί ως προς την συνέχεια η συνάρτηση με τύπο:
όπoυ είναι τρις παραγωγίσιμη συνάρτηση στο με .
β) Αν υποθέσουμε ότι
   
τότε υπάρχει έναι τουλάχιστον .
γ) Nα δειχθεί οτι η είναι παραγωγίσιμη στο 0 και υπάρχει ένα τουλάχιστον
  .
8. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση , η συνάρτηση
   
και οι μιγαδικοί αριθμοί .
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και να υπολογίσετε την .
β) Αν , δείξτε ότι ο μιγαδικός zw είναι φανταστικός.
γ) Αν και η είναι κυρτή δείξτε ότι:
.
9. Δίνονται οι συναρτήσεις συνεχείς στο , για τις οποίες ισχύουν
  .
Να αποδειχθούν τα εξής:
α)  .
β) Η γραφικη παράσταση της έχει εφαπτομένη παράλληλη με τον άξονα .
γ) Yπάρχει .
δ) H παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στην θέση .
10. Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη και γνησίως αύξουσα στο , για την οποία ισχύει:
 .
α) Να αποδείξετε ότι .
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν .
γ) Να αποδείξετε ότι .
11.Δίνεται συνάρτηση δύο φoρές παραγωγίσιμη  ώστε
 
και η παραγωγίσιμη συνάρτηση .
Α) Nα αποδειχθεί οτι η συνάρτηση
   
ειναι σταθερή.
B) Να βρεθεί η συνάρτηση .
Γ) Aν η γραφική παράσταση της περνά απο το σημείο τότε .
Δ) Να βρεθεί το εμβαδόν μεταξύ .
12. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση με ώστε να ισχύει
1) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

2) Να υπολογιστεί το και το

3) To εμβαδόν μεταξύ των συναρτήσεων

13. A) Nα αποδείξετε ότι για κάθε συνεχή συνάρτηση στο ισχύει ότι 
B) Δίνεται η παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο ώστε
1) Δείξτε ότι
2) Δείξτε ότι
 
3) Δείξτε ότι
)
4) Δεν υπάρχει το όριο
  .
14. Έστω η συνάρτηση η οποία είναι δις παραγωγίσιμη στο και η ευθεία είναι εφαπτομένη της στο σημείο .
Eπίσης ισχύουν οι σχέσεις
1)
2)
A) Nα βρεθούν οι τιμές
 
B) Να δειχθεί ότι
 
Γ)
Δ)
15. Δίνεται παραγωγίσιμη στο με την γνήσια φθίνουσα στο 
ίδιο διάστημα και .
Oρίζουμε την συνάρτηση
Nα αποδείξετε ότι:
1) Η είναι συνεχής στο σημείο .
2) .
3) είναι γνήσια αύξουσα.
4) .
16. Δίνεται συνεχής συνάρτηση ώστε να ισχύει η σχέση
.
A) Nα αποδειχθεί ότι είναι παραγωγίσιμη και να βρεθεί ο τύπος της.
B) Θεωρούμε τις συνεχείς συναρτήσεις που ικανοποιούν την σχέση
B1) Nα αποδειχθεί ότι
   
και να εξεταστεί η σχετική θέση των .
B2) Nα αποδειχθεί ότι υπάρχει ώστε το εμβαδόν του χωρίου που καθορίζεται από τις και τις ευθείες να είναι ίσο με .

17) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση , με , ώστε να ισχύει η σχέση: 
Να αποδείξετε ότι:
1) .
2) .
3) Αν τότε:
α) Η f είναι κυρτή.
β)Δεν υπάρχουν στη γραφική παράσταση της f τρία διαφορετικά σημεία τα οποία να είναι συνευθειακά.

18) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση με για κάθε , τέτοια ώστε να ισχύει:
   και .
1) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης.
2) Να δείξετε ότι
  .
3) Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο για την οποία ισχύει:
 
τότε: 
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι κοίλη στο .
β) Να δείξετε ότι: 
.
γ) Να δείξετε ότι η εξίσωση
   
έχει το πολύ μια πραγματική ρίζα.
19) H υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου εφάπτεται της γραφικής παράστασης της συνάρτησης , για την οποία ισχύει η σχέση
Η μια κάθετη πλευρά έχει μήκος και βρίσκεται στον θετικό ημιάξονα , ενώ η άλλη κάθετη πλευρά έχει μήκος .
1) Αν το σημείο επαφής να δειχθεί ότι ικανοποιούν την σχέση .
2) Nα βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει ότι 
 
με όπως προηγουμένως και .
3) Ποιες συντεταγμένες πρέπει να έχει το σημείο επαφής ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου που σχηματίζεται από τον παραπάνω γ.τ. και τις κάθετες πλευρές να είναι μέγιστο;

20) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο με .
1) Να δειχθεί ότι είναι γνήσια φθίνουσα στο
2) Αν είναι δύο απλά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου , με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα ώστε , να δειχθεί ότι
3) Aν
   
να βρεθεί η πιθανότητα να μην πραγματοποιείται κανένα από τα ενδεχόμενα .
4) Να υπολογιστεί το όριο
  .

21) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο
 
Να βρεθούν:
1) ο τύπος της συνάρτησης
2) η τιμή και να ελεγχθεί η συνέχεια το σημείο
3) η τιμή
4) η μονοτονία/καμπυλότητα της συνάρτησης
5) ισχύει ότι 
5) τα .

22) Δίνεται η συνεχής (στο ) συνάρτηση , για την οποία ισχύει ότι
 
Nα αποδειχθεί ότι: 
1)
2)
3) Yπάρχει ένα τουλάχιστον
  .
4) Αν γνωρίζουμε ότι υπάρχει η αντίστροφη της τότε
  .

23) Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις
 
 
1) Nα βρεθούν οι τύποι των συναρτήσεων
2) Nα μελετηθούν ως προς την μονοτονία oι
Να δειχθούν:
i) , αν δίνεται οτι η διέρχεται από το σημείο

ii) και .


24) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει η σχέση: 
.
 , να αποδειχθεί ότι:
1)
2)
3)
και να υπολογιστούν:
4) το εμβαδό του χωρίου που περιλαμβάνει τις και τις ευθείες
5) το όριο .
6) το όριο .

25) Έστω συνάρτηση , η οποία είναι παραγωγίσιµη και κυρτή στο µε και 
.
1) Να αποδείξετε ότι για κάθε .

2) Να αποδείξετε ότι 
.
3) Αν επιπλέον ισχύει
   
για κάθε , τότε:
i) Να αποδείξετε ότι
  .
ii) Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία την συνάρτηση
  .
και να λύσετε στο την ανίσωση
  .

26) Δίνονται οι συναρτήσεις με:
και η παραγωγός της
.
1) Nα εξεταστεί αν η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο .
2) Να αποδειχθεί ότι 
.
Aν επιπλέον γνωρίζουμε ότι
  .
να αποδειχθούν τα κάτωθι:
3)
4)
5)
6)


27) Δίνονται οι συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει:
1) Δείξτε ότι οι είναι παραγωγίσιμες οταν και ότι
  .
2) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης
  .
3) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την τους άξονες και την ευθεία .
4) Να βρεθεί το όριο 
.
5) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης
6) Δείξτε ότι
  .

28) Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι
Να αποδειχθούν τα ακόλουθα:
1)
2)
3)
4) .

29) Δίνεται η συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο και για την οποία ισχύει
.
1) Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης.
2) Να εξετάσετε την συνάρτηση
   
ως προς τη μονοτονία.
3) Nα αποδειχθεί ότι
   
και να υπολογιστεί το
  .

4) Αν για την συνεχή συνάρτηση ισχύει
 
να δείξετε ότι υπάρχει
  .

30) Θεωρούμε τις συναρτήσεις
  .
1) Να μελετηθεί η ως προς τη κυρτότητα για , επίσης να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία και να βρεθεί το ακρότατο της.
2) Nα βρείτε το πλήθος των ακροτάτων της για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου .

3) Να υπολογίσετε τα όρια 
.
4) Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 
.
5) Για , να υπολογίσετε το εμβαδόν του επίπεδου χωρίου που περικλείεται από την τον άξονα των και τις ευθείες και .

31) Δίνεται η συνάρτηση , συνεχής στο κλειστό διάστημα , παραγωγίσιμη στο με 
.

1) Αν , να δείξετε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός τέτοιο ώστε 

να ισχύει
  .
2) Να δείξετε ότι υπάρχουν τέτοια ώστε να ισχύει 
.
3) Αν επιπλέον για τη συνάρτηση ισχύει η σχέση
  .
i) Nα βρεθεί ο τύπος της.
ii) Να δείξετε ότι
  .
iii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από την γραφική παράσταση της και τις ευθείες 
.
iv) Nα αποδειχθεί η σχέση
  .

32) Δίνεται η συνάρτηση
  .
1) Να δείξετε ότι:
  .
2) Θεωρώντας την συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα , να λύσετε την ανίσωση:
3) Θεωρούμε την
 
Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την , τον άξονα και τις ευθείες .

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου