▪ Γεωμετρία - Γ Γυμνασίου

  Θέματα των Μαθηματικών διαγωνισμών 

"Θαλής" και "Ευκλείδης" 

στην Γεωμετρία

46^ος Πανελλήνιος Μαθηματικός διαγωνισμός 1986  

Αν ένα ισόπλευρο τρίγωνο και ένα τετράγωνο έχουν ίσες περιμέτρους , τότε μπορούν να έχουν και ίσα εμβαδά;

3^η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1986  

Χρωματίζουμε όλα τα σημεία του επιπέδου με 2 χρώματα. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία του επιπέδου που έχουν το ίδιο χρώμα και απέχουν μεταξύ τους απόσταση 1.

 47^ος  Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός 1987

Στο παρακάτω σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ =ΑΓ και ΓΔ είναι το ύψος του. Επί της πλευράς ΑΓ παίρνουμε σημείο Ε τέτοιο ώστε ΓΕ =ΓΔ. Αν γωνΑ= 50⁰, να υπολογίσετε όλες τις γωνίες του σχήματος.                                                

48^ος  Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός 1988

Αν οι εξωτερικές γωνίες ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ανάλογες των αριθμών 2, 3 και 4, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ .

49^ος Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός 1989     

Έστω ένα ημικύκλιο με διάμετρο ΑΒ = 50cm και Γ ένα σημείο του ημικυκλίου τέτοιο ώστε ΑΓ = 40cm  και Ε η προβολή του Γ πάνω στην ΑΒ. Πάνω στην κάθετη από το  σημείο Γ  στο επίπεδο του ημικυκλίου παίρνουμε τμήμα ΓΔ =ΓΕ και κατασκευάζουμε το τετράεδρο ΔΓΑΒ.

α) να βρείτε τις ακμές του τετραέδρου

β) να βρείτε τον όγκο του τετραέδρου

γ) να αποδείξετε ότι ΑΔ² + ΒΓ² = ΒΔ² + ΓΔ² .

6^η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1989  

Έστω ένα κανονικό 72-γωνο Α₁Α₂Α₃…..Α₇₂ με κέντρο Ο.

α) Να βρείτε την εξωτερική του γωνία και τις γωνίες Α₄₅ΟΑ₄₆ και Α₄₄Α₄₅Α₄₆ .

β) Πόσες διαγώνιες έχει το κανονικό 72-γωνο.                                           

50^ος Πανελλήνιος Μαθηματικός διαγωνισμός 1990 

Να γράψετε κύκλο που περνά από τα μέσα των τριών πλευρών ορθογωνίου τριγώνου και να αποδείξετε ότι το τόξο του κύκλου το εξωτερικό της υποτείνουσας, ισούται με τη διαφορά των εξωτερικών τόξων του κύκλου στις δύο κάθετες πλευρές του τριγώνου.

7^η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1990     

Έστω ημικύκλιο με διάμετρο ΑΒ και κέντρο Ο και ακτίνας ρ και έστω ΓΔ η χορδή του ημικυκλίου που εφάπτεται στους δύο κύκλους με διαμέτρους ΑΟ και ΟΒ. Αν το μήκος της ΓΔ είναι 120 cm, να υπολογίσετε το εμβαδόν του ημικυκλίου.

Ε.Μ.Ε - Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής» 1994 

Είναι δυνατόν ένα ορθογώνιο με διαστάσεις 9cm και 13cm, να διαιρεθεί

α) σε δύο τετράγωνα με πλευρά 3cm, ένα τετράγωνο με πλευρά 2cm,   

ένα τετράγωνο με πλευρά 6cm, ένα τετράγωνο με πλευρά 7cm  και ένα

ορθογώνιο με πλευρές 2cm και 5cm;

β) ένα τετράγωνο με πλευρά 2cm, ένα τετράγωνο με πλευρά 3cm, ένα τετράγωνο με πλευρά 4cm, ένα τετράγωνο με πλευρά 5cm, και ένα τετράγωνο με πλευρά 8cm;     

Ε.Μ.Ε -Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής»1994 

Στο παρακάτω σχήμα, οι ευθείες ΑΒ, ΓΔ είναι εξωτερικές εφαπτόμενες των δύο κύκλων και η ΖΗ εσωτερική εφαπτομένη των κύκλων, να αποδείξετε ότι ΕΖ = ΗΘ.

Ε.Μ.Ε- Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής»1995

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ και α ≥ β ≥ γ. Αν το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με 2cm², να αποδείξετε ότι β ≥ 2. Πότε ισχύει το «=» ; 

Ε.Μ.Ε -Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής» 1995   

Έστω ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) τέτοιο ώστε οι διαγώνιοι του να τέμνονται κάθετα. Αν Ο είναι το σημείο τομής των διαγωνίων και Ε είναι το συμμετρικό του σημείου Α ως προς το Ο, να αποδείξετε ότι ΒΓ κάθετη στην ΔΕ.

Ε.Μ.Ε- Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής» 1996

Από την  κορυφή Α παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ φέρουμε μία τυχαία ευθεία ε πού τέμνει την ΒΓ στο σημείο Ε .Από την κορυφή Δ φέρουμε μία ευθεία παράλληλη προς την ΑΕ που τέμνει την πλευρά ΒΓ στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι το παραλληλόγραμμο με πλευρές ΑΕ και ΑΖ έχει εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν του ΑΒΓΔ. 

Ε.Μ.Ε -Πανελλήνιος Διαγωνισμός «Θαλής» 1998                       

Διαιρούμε ένα παραλληλόγραμμο σε 4 μικρότερα ορθογώνια με δύο ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του. Τα τρία από τα τέσσερα ορθογώνια έχουν εμβαδόν 10, 18 και 25cm². Nα βρείτε το εμβαδόν του 4^ου ορθογωνίου.  

Ε.Μ.Ε-Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ευκλείδης»1998

Έστω ένα σημείο Δ της βάσης ΒΓ τριγώνου ΑΒΓ και Ι το μέσο του ΑΔ.Η ΒΙ τέμνει την ΑΓ στο σημείο Ε και η ΙΓ τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ζ. Αν η παράλληλη από το σημείο Δ στην ΑΓ τέμνει την ΒΕ στο σημείο Η και η παράλληλη από το σημείο Δ στην ΑΒ τέμνει την ΓΖ στο σημείο Θ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο.  

Ε.Μ.Ε-Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ευκλείδης»1998

 Να χωρίσετε ένα τετράγωνο με πλευρά 4 cm σε ορθογώνια παραλληλόγραμμα των οποίων το άθροισμα των περιμέτρων τους να είναι 25 cm.

Ε.Μ.Ε- Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής»1999

Στο παρακάτω σχήμα, ισχύουν:

α) ΑΒ//ΕΔ

β) γωνΒ = 90⁰

γ) γωνΒΑΓ = γωνΓΕΔ= 45⁰

δ) ΔΕ = 2ΑΒ  και  ΑΒ = α.

Να υπολογίσετε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΕ συναρτήσει του α.   

Ε.Μ.Ε-Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής»1999

Στο παρακάτω σχήμα, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο και το ΑΖΕΓ είναι ορθογώνιο.

Να υπολογίσετε το λόγο (ΑΒΓΔ): (ΑΖΕΓ).       

Ε.Μ.Ε-Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ευκλείδης»1999

Στο παρακάτω σχήμα, τα τετράπλευρα ΑΒΓΔ, ΔΕΖΗ, ΘΙΚΛ είναι τετράγωνα.

Να υπολογίσετε το λόγο (ΔΕΖΗ):(ΘΙΚΛ).  

Ε.Μ.Ε- Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής»2000

Στο παρακάτω σχήμα ισχύουν:

α)  ε₁//ε₂  

β) το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο πλευράς α

γ) ΓΕ κάθετη στην ΑΓ και ΑΔ κάθετη στην ΒΓ

δ) ΑΕ =2α.

Να βρείτε: i) το λόγο ΓΕ προς ΑΔ    

                 ii) το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΔΓΕ.   

Ε.Μ.Ε-Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ευκλείδης»2000

Στο παρακάτω σχήμα, ισχύουν:

 α) το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές 

β) ΑΕ = χ, ΑΕ = ψ  και ΑΓ = 2χ + ψ

γ) (ΔΕΖΗ) = 2/5 (ΑΒΓ).

Να υπολογίσετε:

      i) το λόγο χ προς ψ

     ii) το λόγο (ΑΔΕ): (ΑΒΓ). 

Ε.Μ.Ε-Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής» 2001

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές ΑΒ = χ , ΑΓ = χ + 2 και ΒΓ = 10. Αν

                                                     (χ + 2)² – χ² = 28 

να αποδείξετε ότι Α = 90⁰ .

Ε.Μ.Ε-Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής» 2001

Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α. Στο εσωτερικό του κατασκευάζουμε  ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΕ.

α) Να αποδείξετε ότι γωνΑΔΕ= γωνΒΓΕ

β) Να υπολογίσετε τα εμβαδά των τριγώνων ΓΔΕ, ΑΔΕ και ΑΓΕ. 

Ε.Μ.Ε-Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ευκλείδης»2001

Στο παρακάτω σχήμα, το άθροισμα των εμβαδών των ημικυκλίων με διαμέτρους τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ είναι ίσο με το εμβαδόν του ημικυκλίου με διάμετρο την πλευρά ΒΓ.

Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο.  

Ε.Μ.Ε-Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής» 2002

Στο παρακάτω σχήμα ,ανάμεσα στα ορθογώνια ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ υπάρχουν 10 ίσα τετράγωνα.Αν το άθροισμα των εμβαδών τους ισούται με το άθροισμα των περιμέτρων των ορθογωνίων ΑΒΓΔ και ΕΖΗΘ, να βρείτε την πλευρά των τετραγώνων .

   

Ε.Μ.Ε-Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής» 2002

Στο παρακάτω σχήμα, η γωνία ΒΟΔ = ψ είναι τριπλάσια της γωνίας ΑΟΔ= χ και το εμβαδόν του κυκλικού τομέα ΟΑΕΔ είναι ίσο με 1/2πR².

Να βρείτε:

α) τις γωνίες χ και ψ.

β) το λόγο των εμβαδών των κυκλικών τμημάτων ΒΖΓ και ΑΗΓ.    

Ε.Μ.Ε-Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ευκλείδης»2002

Έστω ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90⁰) .Εξωτερικά του τριγώνου φέρουμε ευθεία χΑψ έτσι ώστε γων(χΑΓ) = 30⁰. Από τα σημεία Γ και Δ φέρουμε κάθετες προς την ευθεία  χΑψ  που την τέμνουν στα σημεία Δ και Ε αντιστοίχως. Να βρείτε το εμβαδόν του τραπεζίου ΒΓΔΕ, συναρτήσει του α.   

Ε.Μ.Ε- Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής»2003

Με διάμετρο την πλευρά ΑΓ ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) γράφουμε κύκλο που τέμνει την πλευρά ΒΓ στο σημείο Δ .Φέρουμε και την Αχ κάθετη στην ΑΔ που τέμνει τον κύκλο στο σημείο Ε .Να αποδείξετε ότι:

α) το ΑΔ είναι το ύψος του τριγώνου ΑΒΓ

β) (ΑΒΓ) = (ΑΔΓΕ) . 

Ε.Μ.Ε-Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής» 2003

Στο παρακάτω σχήμα, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο πλευράς 4α και ΑΕ = ΒΖ = ΓΗ = ΔΘ = α. Αν το τετράπλευροΙΚΛΜ είναι τετράγωνο, να υπολογίσετε:

α) το ευθύγραμμο τμήμα ΑΗ ως συνάρτηση του α

β) το εμβαδόν του τετραγώνου ΙΚΛΜ ως συνάρτηση του α. 

Ε.Μ.Ε-Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ευκλείδης»2003

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές ΑΒ = 6 , ΒΓ = 8 και ΑΜ η διάμεσος του. Αν η μεσοκάθετος της διαμέσου τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο Ε και οι πλευρές ΑΒ, ΑΓ και ΒΓ είναι ανάλογες των πλευρών ΕΜ, ΜΓ και ΕΓ του τριγώνου ΕΜΓ, να βρείτε το μήκος της πλευράς ΑΓ.

Ε.Μ.Ε-Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής» 2004

Στο παρακάτω σχήμα, η ΛΜ είναι μεσοκάθετος της ΒΓ και γωνΜΛΓ = 45⁰, γωνΑΒΛ = 30⁰ και ΛΓ = κ.

Να βρείτε:

α) τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ

β) τις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ συναρτήσει του κ 

γ) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ. 

Ε.Μ.Ε-Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Θαλής»2004

Στο παρακάτω σχήμα, το ΑΒΓΔ είναι ορθογώνιο με ΑΒ = 2ΑΔ = 2α  και Ε, Ζ

τα μέσα των πλευρών ΑΒ και ΓΔ αντιστοίχως.

Οι κύκλοι με κέντρα τα σημεία Α ,Ε και Β και ακτίνα α  τέμνονται στα σημεία Κ και Λ. Να βρείτε: 

α) το εμβαδόν του τριγώνου ΚΑΕ 

β) το εμβαδόν του τετραπλεύρου ΚΛΝΜ, όπου  Μ το μέσον του ΑΕ και Ν το μέσον του ΕΒ

γ) το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τριγώνου ΚΕΛ.

Ε.Μ.Ε-Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ευκλείδης 2004

Στο παρακάτω σχήμα, τα τρίγωνα ΑΟΒ και ΓΟΔ είναι ισόπλευρα με πλευρά α και ΒΕ κάθετη στην ΒΔ .

α) να βρείτε τη γωνία ΑΕΒ

β) να βρείτε τα μήκη των τμημάτων ΑΕ, ΒΕ και ΔΕ συναρτήσει του α.

Ε.Μ.Ε-Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ευκλείδης» 2004

Στο παρακάτω σχήμα, οι διάμετροι ΑΒ και ΓΔ του κύκλου (Ο,ρ) τέμνονται κάθετα και η ΕΖ είναι μεσοκάθετη της ακτίνας ΟΓ.

Να βρείτε:

α) τα ευθύγραμμα τμήματα ΓΖ και ΒΖ συναρτήσει της ακτίνας ρ

β) το εμβαδόν του τριγώνου ΒΓΖ συναρτήσει της  ακτίνας ρ.  

Ε.Μ.Ε- Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός  «Θαλής» 2005  

Να αποδείξετε ότι δεν είναι δυνατόν να υπάρχουν στο εσωτερικό κυρτού τετραπλεύρου δύο διαφορετικά σημεία τέτοια ώστε από το καθένα από αυτά όλες οι πλευρές του τετραπλεύρου να φαίνονται υπό ίσες γωνίες.

Ε.Μ.Ε-Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός «Ευκλείδης»2005

Έστω τραπέζιο ΑΒΓΔ με ΑΔ = α, ΒΓ = β, ΑΒ = α + β και η πλευρά ΑΒ κάθετη στις βάσεις του. Αν Μ το μέσο της πλευράς ΓΔ, να υπολογισθεί η ΑΜ συναρτήσει των α και β.