▪ 50 Ασκήσεις Γεωμετρίας από τους Μαθηματικούς διαγωνισμούς της ΕΜΕ

Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΗ 1^η

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΒΓ < ΓΑ. Αν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου είναι διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί και η διχοτόμος ΑΔ είναι κάθετη στη διάμεσο ΒΕ, να βρεθούν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου.

44^ος Πανελλήνιος Μαθηματικός διαγωνισμός 1984

ΑΣΚΗΣΗ 2^η

α) Να αποδείξετε ότι ένα κυρτό ν –γωνο δεν μπορεί να έχει περισσότερες από τρεις εσωτερικές οξείες γωνίες.

β) Να αποδείξετε ότι ένα κυρτό ν –γωνο που έχει τρεις εσωτερικές γωνίες ίσες με 60⁰ είναι ισόπλευρο τρίγωνο.

2^η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985

ΑΣΚΗΣΗ 3^η

Έστω Ρ εσωτερικό σημείο τριγώνου ΑΒΓ και d₁ ,d₂ , d₃ οι αποστάσεις του Ρ από τις κορυφές του τριγώνου. Να αποδείξετε ότι:

α) (β + γ)(α + β + d₁ +d₂) > β² + 2γ²

β) (γ + α)(β + γ + d₂ + d₃) > 3αγ       

46^ος Πανελλήνιος Μαθηματικός διαγωνισμός  1986

ΑΣΚΗΣΗ 4^η

Γνωρίζουμε ότι οι διαγώνιες του τετραγώνου και του κανονικού πενταγώνου είναι ίσες. Να βρείτε το μεγαλύτερο φυσικό αριθμό ν, για τον οποίο ένα κυρτό ν- γωνο έχει όλες τις διαγώνιες του ίσες.

3^η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1986

ΑΣΚΗΣΗ 5^η

Έστω ένα κυρτό 100-γωνο Α₁Α₂Α₃Α₄….Α₁₀₀ .Φέρουμε τη διαγώνιο Α₄₂Α₈₁ , η οποία χωρίζει το πολύγωνο σε δύο άλλα πολύγωνα Ρ₁ και Ρ₂. Να βρείτε πόσες κορυφές και πόσες διαγώνιες έχει καθένα από τα πολύγωνα Ρ₁ και Ρ₂;

3^η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1986

ΑΣΚΗΣΗ 6^η

Έστω τετράπλευρο ΑΒΓΔ και ένα σημείο Ρ  του επιπέδου του τετραπλεύρου. Αν ΑΒ =α, ΒΓ =β,  ΓΔ =γ, ΔΑ = δ, ΡΑ =χ₁, ΡΒ = χ₂,  ΡΓ = χ₃ και  ΡΔ = χ₄, να αποδείξετε ότι:

 α(χ₁ + χ₂) +β(χ₂ + χ₃) + γ(χ₃ + χ₄) +δ(χ₄ +χ₁) > α² + β² + γ² + δ².                                                            

47^ος  Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός  1987

ΑΣΚΗΣΗ 7^η

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Δ, Ε σημεία των πλευρών ΒΓ, ΑΓ αντιστοίχως τέτοια ώστε γωνΒΑΔ =γωνΓΔΕ. Να αποδείξετε ότι ΑΔ = ΑΕ.

4^η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1987

ΑΣΚΗΣΗ 8^η

Έστω δύο κύκλοι (Ο₁, ρ₁) και (Ο₂ ,ρ₂) , ο ένας εξωτερικός του άλλου. Να βρείτε:

α) το μικρότερο ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο σημεία των κύκλων

β) το μεγαλύτερο ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο σημεία των κύκλων.

4^η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1987

ΑΣΚΗΣΗ 9^η

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με ΑΒ < ΑΓ. Πάνω στην ημιευθεία ΑΒ παίρνουμε σημείο Δ τέτοιο ώστε ΑΔ = ΑΓ και πάνω στην πλευρά ΑΓ παίρνουμε σημείο Ε τέτοιο ώστε ΑΕ = ΑΒ. Αν Ι το σημείο τομής των ευθειών ΒΓ και ΔΕ, να αποδείξετε ότι η ΑΙ είναι διχοτόμος της γωνίας Α.

48^ος Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός  1988

ΑΣΚΗΣΗ 10^η                     

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Μ, Ν, Ρ τυχαία σημεία επι των πλευρών ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι:

          ΒΓ + ΓΑ + ΑΒ < 2(ΑΜ + ΒΝ + ΓΡ) < 3(ΒΓ + ΓΑ + ΑΒ).

48^ος Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός 1988

ΑΣΚΗΣΗ 11^η

Δίνονται στο επίπεδο

                                     1 σημείο

                      και άλλα 2 σημεία            

                      και άλλα 3 σημεία  επί ευθείας            

                      και άλλα 4 σημεία  επί ευθείας              

                      και άλλα 5 σημεία  επί ευθείας            

                      και άλλα 6 σημεία  επί ευθείας        

                      ……………………………….

                      και άλλα 10 σημεία  επί ευθείας 

                      και άλλα 11 σημεία  επί ευθείας                      

Να βρείτε πόσες ευθείες ορίζουν όλα τα σημεία.

49^ος Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός 1989

ΑΣΚΗΣΗ 12^η

Έστω ένα κυρτό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ με περίμετρο π. Να αποδείξετε ότι:

                            2/3(ΑΔ  +ΒΕ +ΓΖ) < π .

49^ος Πανελλήνιος Μαθηματικός Διαγωνισμός 1989

ΑΣΚΗΣΗ 13^η

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και γωνΓΑΔ = γωνΓΒΕ = 30⁰. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο.

6^η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1989

ΑΣΚΗΣΗ 14^η   

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Γ = 90⁰) με ΑΓ = 3, ΒΓ = 4 και το τρίγωνο ΑΒΔ (Α =90⁰) με ΑΔ = 12 (τα σημεία Γ, Δ βρίσκονται εκατέρωθεν της πλευράς ΑΒ). Η παράλληλη ευθεία από το σημείο Δ προς την ΑΓ τέμνει την ευθεία ΓΒ στο σημείο Ε. Αν ΔΕ: ΔΒ = α:β, όπου α, β σχετικά πρώτοι αριθμοί , τότε να βρείτε το άθροισμα α + β.

52^ος Πανελλήνιος Μαθηματικός διαγωνισμός 1991

ΑΣΚΗΣΗ 15^η   

Να βρεθεί το είδος του τριγώνου ΑΒΓ, αν για τις πλευρές του ισχύουν οι σχέσεις:

                                          α² < 2α + β – γ    

                                          β² < 2β + γ – α    

                                          γ² < 2γ + α – β , 
όπου α, β, γ ακέραιοι διάφοροι του μηδενός.

Ε.Μ.Ε  54^ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής»  1994

ΑΣΚΗΣΗ 16^η

Έστω ισοσκελές τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ), του οποίου οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα στο σημείο Ο. Αν το σημείο Ε είναι το συμμετρικό του σημείου Α ως προς το Ο, να αποδείξετε ότι ΒΓ κάθετη στην ΔΕ.

Ε.Μ.Ε  54^ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 1994

Έστω 4 ευθείες του επιπέδου. Αν κάθε άλλη ευθεία του επιπέδου τέμνει είτε 2 είτε και τις 4 ευθείες, να βρείτε πόσες από τις δοθείσες ευθείες είναι παράλληλες.

Ελληνική Ολυμπιάδα Μαθηματικών  «Αρχιμήδης» 1995

ΑΣΚΗΣΗ 17^η   

Έστω χΟψ μία οξεία γωνία, Α ένα σημείο επί της ημιευθείας Οψ και Β ένα σημείο επί της ημιευθείας Οχ έτσι ώστε ΑΒ κάθετη στην Οχ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν 2 σημεία επί της Οψ το καθένα από τα οποία να ισαπέχει από το Α και την Οχ.    

7^η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1990

ΑΣΚΗΣΗ 18^η

Έστω τρίγωνο  ΑΒΓ (Α= 90⁰) με ΑΒ = 3 και ΑΓ = 4. Το τρίγωνο ΒΓΔ έχει Β = 90⁰ και ΒΔ = 12.

Τα σημεία Α και Δ βρίσκονται εκατέρωθεν της πλευράς ΒΓ. Αν η παράλληλη από το σημείο Δ προς την ΑΒ τέμνει την ευθεία ΑΓ στο σημείο Ε, να υπολογίσετε το λόγο ΔΕ : ΔΓ. 

Ε.Μ.Ε  51^ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 1991

ΑΣΚΗΣΗ 19^η

Έστω δύο εφαπτόμενοι εξωτερικά κύκλοι C₁ : (Ο₁ ,R) και C₂ : (Ο₂ , ρ). Από ένα σημείο Ρ εκτός του κύκλου φέρουμε τις κοινές εφαπτόμενες ε₁ και ε₂. Η ευθεία ε₁ εφάπτεται στον κύκλο C₂ στο σημείο Α και στον κύκλο C₁ στο σημείο Β και η ευθεία ε₂ εφάπτεται στον κύκλο C₂ στο σημείο Α΄ και στον κύκλο C₁ στο σημείο Β΄. Αν ΡΑ = ΑΒ = 4, να βρείτε το εμβαδόν του κύκλου C₂ .

Ε.Μ.Ε  51^ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 1991

ΑΣΚΗΣΗ 20^η

Στο παρακάτω σχήμα, οι τρεις ίσοι κύκλοι ακτίνας ρ εφάπτονται μεταξύ τους αλλά και στον κύκλο C ακτίνας R.

Nα αποδείξετε ότι:

 Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής»  1992

ΑΣΚΗΣΗ 21^η

Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ και τα σημεία Κ, Λ, Μ, Ν επί των πλευρών  ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ αντιστοίχως τέτοια  ώστε το τετράπλευρο ΚΛΜΝ να είναι τετράγωνο. Αν (ΚΛΜΝ) : (ΑΒΓΔ) = α, να βρείτε το λόγο των μηκών των τμημάτων στα οποία διαιρούνται οι πλευρές του τετραγώνου ΑΒΓΔ από τις κορυφές του τετραγώνου ΚΛΜΝ.

Ε.Μ.Ε  55^ος Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 1995

ΑΣΚΗΣΗ 22^η                

Υπάρχει τρίγωνο με όλες του τις πλευρές και ένα ύψος του να έχουν ακέραια μήκη και η περίμετρος του να είναι 21;

Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 1995

ΑΣΚΗΣΗ 23^η

Ο καθηγητής των Μαθηματικών στο σχολείο σχεδίασε ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ και πήρε ένα  σημείο Μ στην πλευρά ΑΒ. Μέτρησε τα ευθύγραμμα τμήματα στο σχήμα και βρήκε ότι:

1) ΑΜ = 5,1 cm, AM > MB.

2) η περίμετρος του ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι 47,6 cm

3) το άθροισμα των περιμέτρων του τετραπλεύρου ΑΜΓΔ και του τριγώνου ΜΒΓ είναι 74,79 cm. Nα εξετάσετε αν ήταν σωστές οι μετρήσεις του καθηγητή;

Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης» 1995

ΑΣΚΗΣΗ 24^η

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90⁰) με  ΑΒ = 600m .Στην πλευρά  ΑΓ  παίρνουμε σημείο Δ τέτοιο ώστε ΑΔ =150m και ΑΒ + ΑΔ = ΓΔ + ΒΓ. Να βρείτε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΓΔ.                                                    

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 1996Λύση

ΑΣΚΗΣΗ 25^η

 Nα αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ ισχύει:

                  (β² + γ² – α²)² ≤ 4β²γ².                                               

Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 1996

ΑΣΚΗΣΗ 26^η

Έστω τρία μη συνευθειακά σημεία Α, Β, Γ του επιπέδου τέτοια ώστε το σημείο Γ να  βρίσκεται στο εξωτερικό μέρος του κύκλου με διάμετρο ΑΒ.Μία ευθεία ε  διέρχεται από το Γ ,χωρίς να διέρχεται από σημείο εσωτερικό του ΑΒ. Αν Α΄ , Β΄ οι προβολές των Α, Β επί της ευθείας ε, να βρείτε τη θέση της ευθείας ε  έτσι ώστε το άθροισμα ΑΑ΄ + ΒΒ΄, να γίνεται μέγιστο.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Eυκλείδης» 1996

ΑΣΚΗΣΗ 27^η

Έστω ΑΒΓ ισοσκελές (ΑΒ = ΒΓ) και σημεία Μ, Ν επί της πλευράς ΒΓ τέτοια ώστε  ΝΜ = ΑΜ και γωνΜΑΓ = γωνΒΑΝ. Να υπολογίσετε τη γωνία γωνΓΑΝ.

Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 1997

ΑΣΚΗΣΗ 28^η

Έστω Γ εσωτερικό σημείο ορθής γωνίας χΟψ και τα σημεία Α και Β επί των πλευρών Οχ και Οψ της γωνίας. Να αποδείξετε ότι:

                                         ΑΒ + ΒΓ + ΓΑ > 2ΟΓ .

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης » 1997

ΑΣΚΗΣΗ 29^η

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) με Α = 108⁰. Φέρουμε τη διχοτόμο ΓΔ της γωνίας Γ και την κάθετη στη διχοτόμο στο σημείο Δ, που τέμνει τη ΒΓ στο σημείο Ε. Να αποδείξετε ότι ΒΕ = ΑΔ .

Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης » 1997

ΑΣΚΗΣΗ 30^η

Στο παρακάτω σχήμα, η περιοχή του επιπέδου περικλείεται από 6 ημικύκλια ακτίνας 1cm.

Να υπολογίσετε το εμβαδόν της περιοχής.

 Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 1998

ΑΣΚΗΣΗ 31^η

Έστω τετράγωνο ΟΑΒΓ και ο κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα 2. Αν το τετράγωνο και ο κύκλος έχουν κοινό μέρος εμβαδού ίσο με τα 3/5 του εμβαδού του τετραγώνου, να υπολογίσετε την πλευρά του τετραγώνου.                                                                 

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης» 1998

ΑΣΚΗΣΗ 32^η            

Έστω ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και Δ , Ε σημεία των πλευρών ΑΒ, ΑΓ .Να αποδείξετε ότι τα τμήματα ΔΕ, ΒΕ, ΔΓ αποτελούν πλευρές τριγώνου.

Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης» 1998

ΑΣΚΗΣΗ 33^η

H σκάλα ΑΒ ακουμπά στο έδαφος ΟΒ και στον τοίχο ΟΑ. Αν ΟΑ = h και υπάρχει ένα σημείο της σκάλας Γ που απέχει ίση απόσταση χ από τον τοίχο και από το έδαφος, να βρείτε το μήκος της σκάλας συναρτήσει των h και χ.

Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 1999

ΑΣΚΗΣΗ 34^η

Kατά τη διάρκεια μιας έκλειψης ηλίου ο δίσκος της Σελήνης καλύπτει σταδιακά το δίσκο του Ηλίου,  έτσι ώστε η καλυπτόμενη επιφάνεια να μεγαλώνει σιγά – σιγά.

Να αποδείξετε  ότι η διαφορά των μη επικαλυπτόμενων επιφανειών Η₀ – Σ₀ , είναι σταθερή σε κάθε χρονική στιγμή.

Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 1999

ΑΣΚΗΣΗ 35^η

Δύο αμβλείες γωνίες είναι τοποθετημένες με τέτοιο τρόπο ώστε το ένα ζεύγος των πλευρών τους είναι αντικείμενες ημιευθείες και το άλλο ζεύγος είναι κάθετες ημιευθείες. Να βρείτε το άθροισμα των δύο αμβλειών γωνιών.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης»  1999

ΑΣΚΗΣΗ 36^η

α) Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τετραπλεύρου ΑΒΓΔ είναι  360⁰.

β) Αν οι εξωτερικές γωνίες Α_εξ, Β_εξ , Γ_εξ , Δ_εξ,  ενός τετραπλεύρου ΑΒΓΔ είναι ανάλογες των αριθμών 6, 8, 10 και 12 αντιστοίχως, να βρείτε το είδος  του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ.
Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός «Θαλής» 2000

 ΑΣΚΗΣΗ 37^η                       

Έστω ένα ορθογώνιο με διαστάσεις χ, ψ, όπου χ ,ψ ακέραιοι αριθμοί. Αν αυξήσουμε τη μία διάσταση κατά 1 και την άλλη κατά 2, τότε προκύπτει ένα ορθογώνιο με εμβαδόν διπλάσιο του εμβαδού του αρχικού ορθογωνίου. Να βρείτε τις διαστάσεις χ, ψ του ορθογωνίου.

Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 2000

ΑΣΚΗΣΗ 38^η    

Έστω οι κάθετες ημιευθείες Οt και Οs και τα σημεία Α, Β των Οt, Os αντιστοίχως, τέτοια ώστε ΟΑ = χ και ΟΒ = ψ με ψ < χ. Κατασκευάζουμε το τετράγωνο ΑΒΓΔ μέσα στη γωνία tΟs και από την κορυφή Δ φέρουμε ευθεία ε κάθετη στη διχοτόμο Οδ  της γωνίας tOs , η οποία τέμνει την Οs στο σημείο Ε και την Οt στο σημείο Ζ. Να αποδείξετε ότι:

α) ΑΖ = χ + ψ και ΒΕ = 2χ

β) το τρίγωνο ΒΓΕ είναι ισοσκελές.            

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης» 2000

ΑΣΚΗΣΗ 39^η                                       

Έστω ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ και σημείο Β στο εσωτερικό του. Κατασκευάζουμε τα ισόπλευρα τρίγωνα ΑΒΔ και ΒΓΕ προς το ίδιο μέρος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΓ. Αν τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΕ και ΓΔ τέμνονται στο σημείο Ζ, να υπολογίσετε τη γωνία ΑΖΔ.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 2001

ΑΣΚΗΣΗ 40^η

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α = 90⁰) με ΑΓ < ΑΒ. Από το μέσο Μ της υποτείνουσας ΒΓ φέρουμε κάθετη στη ΒΓ , η οποία τέμνει την πλευρά ΑΒ στο σημείο Δ. Αν  γωνΔΜΒ = γωνΔΑΓ, να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου ΑΒΓ.  

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης» 2001

ΑΣΚΗΣΗ 41^η           

Έστω τετράγωνο πλευράς α, με α > 1 .Το τετράγωνο που έχει πλευρά κατά 1 μικρότερη του α , έχει περίμετρο ίση με το εμβαδόν του αρχικού τετραγώνου. Να βρείτε την πλευρά α.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 2002

ΑΣΚΗΣΗ 42^η

Στο διπλανό σχήμα το οικόπεδο ΑΒΓΔ είναι σχήματος ορθογωνίου με πλευρές ΑΒ = α και ΒΓ = β. Από το οικόπεδο θα αποκοπούν δύο δρόμοι ΕΖΗΘ και ΑΙΚΛ. Ο δρόμος ΕΖΗΘ σχήματος ορθογωνίου  έχει πλάτος ΖΗ = ψ και ο δρόμος ΑΙΚΛ σχήματος παραλληλογράμμου έχει πλευρά ΙΑ = χ.

α) Να βρείτε το εμβαδόν του οικοπέδου που απομένει συναρτήσει των α ,β , χ και ψ.

β) Αν ΛΑΔ =30⁰, να βρείτε το πλάτος d του δρόμου ΑΙΚΛ συναρτήσει του χ . 

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 2002

ΑΣΚΗΣΗ 43^η

Έστω τρίγωνο ΑΒΓ με Β = 120⁰.Αν ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ είναι οι διχοτόμοι των γωνιών του τριγώνου, να υπολογίσετε τη γωνία ΔΕΖ.

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης»  2002

ΑΣΚΗΣΗ 44^η

Έστω τραπέζιο ΑΒΓΔ (ΑΒ//ΓΔ) και Ε το σημείο τομής των διαγωνίων του. Αν (ΑΒΕ) = 72 και (ΔΕΓ) = 50, να υπολογίσετε το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ .

Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 2003

ΑΣΚΗΣΗ 45^η

Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς α. Με κέντρο την κορυφή Α και ακτίνα ΑΒ γράφουμε κύκλο. Από ένα τυχόν σημείο Μ του τόξου ΒΔ στο εσωτερικό του τετραγώνου φέρουμε κάθετη προς την ακτίνα ΑΜ, η οποία τέμνει την ΒΓ στο σημείο Ε και την ΓΔ στο σημείο Ζ.Να αποδείξετε ότι:

α) ΕΖ = ΒΕ + ΔΖ

β) 1/2 α < ΕΖ < α .

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης» 2003

ΑΣΚΗΣΗ 46^η

Έστω τραπέζιο ΑΒΓΔ με Α = Β = 90⁰, ΑΔ = α, ΒΓ = 2α  και ΓΔ = 3/2α . Αν οι μη παράλληλες πλευρές του τέμνονται στο Ε, να αποδείξετε ότι:

α) το τρίγωνο ΒΔΓ είναι ισοσκελές

β) η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΔΕ

γ) (ΕΒΓ) : (ΑΒΓΔ) = 4 : 3

Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Θαλής» 2004

ΑΣΚΗΣΗ 47^η

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90⁰) με πλευρές α, β και γ. Να αποδείξετε ότι:

                              β⁴ + β²γ² + γ⁴ ≥ 3/4α⁴ .

Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης» 2004

ΑΣΚΗΣΗ 48^η

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ) και ΑΔ το ύψος του .Στα σημεία Β και Γ και στο ημιεπίπεδο που δεν ανήκει το σημείο Α, φέρουμε τα κάθετα ευθύγραμμα τμήματα στην πλευρά  ΒΓ  τέτοια ώστε ΒΕ = ΓΖ = ½ ΑΔ.

α) να αποδείξετε ότι ΑΕ = ΑΖ

β) αν (ΑΒΓ) = ε², να βρείτε τα εμβαδά των τριγώνων ΑΕΖ και ΑΚΛ, όπου Κ ,Λ είναι τα σημεία τομής των ΑΕ και ΑΖ με την πλευρά ΒΓ αντιστοίχως. 

Ε.Μ.Ε  Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης» 2004

ΑΣΚΗΣΗ 49^η                           

Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Ε, Ζ τα μέσα δύο απέναντι πλευρών του. Αν το ευθύγραμμο τμήμα ΕΖ χωρίζει το τετράπλευρο ΑΒΓΔ σε δύο ισεμβαδικά τετράπλευρα, τότε να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο.
Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός «Θαλής» 2005

ΑΣΚΗΣΗ 50^η

Έστω σκαληνό τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρεθεί πόσα σημεία Δ υπάρχουν στο επίπεδο του τριγώνου, τέτοια ώστε το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία Α, Β, Γ, Δ να έχει άξονα συμμετρίας διαφορετικό από πλευρά του τριγώνου;

Ε.Μ.Ε Πανελλήνιος Διαγωνισμός  «Ευκλείδης» 2005