Άπειρο Γινόμενο: Είναι αλήθεια ότι 1×1×1×⋯ =1;

Η εικόνα εκφράζει έναν πολύ γνωστό αλλά λανθασμένο ισχυρισμό:

$$\underbrace{1\times1\times1\times1\times\cdots}_{\infty}\neq 1$$

Στην πραγματικότητα, αν το γινόμενο ορίζεται σωστά, τότε

$$\prod_{n=1}^{\infty}1=1.$$

Γιατί;

Ένα άπειρο γινόμενο δεν σημαίνει ότι «πολλαπλασιάζουμε άπειρους αριθμούς» με την καθημερινή έννοια. Ορίζεται ως το όριο των μερικών γινομένων:

$$\prod_{n=1}^{\infty} a_n = \lim_{N\to\infty}\prod_{n=1}^{N} a_n.$$

Εδώ έχουμε $a_n=1$ για κάθε $n$.

Άρα το $N$-οστό μερικό γινόμενο είναι

$$P_N=1\cdot1\cdot1\cdots1=1$$

για κάθε πεπερασμένο $N$.

Επομένως

$$\lim_{N\to\infty}P_N = \lim_{N\to\infty}1 = 1.$$

Άρα

$$\boxed{\prod_{n=1}^{\infty}1=1.}$$

Πότε ένα άπειρο γινόμενο δεν ισούται με 1;

Αν οι παράγοντες δεν είναι ακριβώς 1.

Παραδείγματα:

$$\prod_{n=1}^{\infty}\frac12=0,$$

διότι

$$\left(\frac12\right)^N\longrightarrow0.$$

ή

$$\prod_{n=2}^{\infty}\left(1-\frac1n\right) = \frac12\cdot\frac23\cdot\frac34\cdots = 0,$$

επειδή το γινόμενο τηλεσκοπεί σε

$$\frac{1}{N}⟶0.$$