Γρίφοι με οκτώ: Στόχος 512

Χρησιμοποιώντας τέσσερα οκτάρια και όποιες πράξεις από τις

$+,−,×,÷$

θέλετε (όχι απαραίτητα όλες), να σχηματίσετε τον αριθμό $512$.

Κόκκινος τροχός

Ένας τροχός ακτίνας $1$ μέτρου κυλίεται στη μία πλευρά μιας ορθογώνιας γούρνας (όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα) και στην άλλη πλευρά, χωρίς να ολισθαίνει. Περνάει πάνω από μια κηλίδα χρώματος στο σημείο $Α$ της πρώτης πλευράς. 

Μετά από αυτό, κάθε φορά που αυτό το σημείο του τροχού ακουμπά στη γούρνα κάνει ένα σημάδι μπογιάς. Η πρώτη φορά που συμβαίνει αυτό είναι στο σημείο $Β$ στην άλλη πλευρά. Το σημείο $Α$ στην πρώτη πλευρά απέχει $2$ μέτρα από τη γωνία $C$ της γούρνας. 

Σε πόση απόσταση από τη γωνία βρίσκεται το σημάδι χρώματος $Β$;

 Δείτε εδώ τη λύση του κ. Δόρτσιου και εδώ το σχετικό αρχείο Geogebra.

2017 ψεύτες και ειλικρινείς

Κάθε ένας από τους 2017 ανθρώπους που ζουν σε ένα νησί είναι είτε ψεύτης (και λέει πάντα ψέματα) είτε ειλικρινής (και λέει πάντα την αλήθεια). Περισσότεροι από χίλιους από αυτούς λαμβάνουν μέρος σε ένα συμπόσιο, όλοι κάθονται μαζί σε ένα στρογγυλό τραπέζι. 

Κάθε ένας από αυτούς λέει: 

''Από τους δύο ανθρώπους δίπλα μου, ένας είναι ψεύτης και ο άλλος ειλικρινής.'' 

Πόσοι ειλικρινείς άνθρωποι το πολύ υπάρχουν στο νησί;

α) 1683      β) 668      γ) 670     δ) 1344     ε) 1343

Kangourou Mathematics Competition 2017 

Level 11 – 12