Euclid's Elements Book XIII - Proposition 13

Proposition 13

To construct a pyramid, to comprehend it in a given sphere; and to prove that the square on the diameter of the sphere is one and a half times the square on the side of the pyramid.

VI.9
I.11

Set out the diameter AB of the given sphere, cut it at the point C so that AC is double CB, describe the semicircle ADB on AB, draw CD from the point C at right angles to AB, and join DA.

I.1
IV.2

Set out the circle EFG with radius equal to DC, inscribe the equilateral triangle EFG in the circle EFG, take the center H of the circle, and join EH, HF, and HG.

XI.12
I.3

Set HK up from the point H at right angles to the plane of the circle EFG, cut off HK equal to the straight line AC from HK, and join KE, KF, and KG.

XI.Def.3

Now, since KH is at right angles to the plane of the circle EFG, therefore it makes right angles with all the straight lines which meet it and are in the plane of the circle EFG. But each of the straight lines HE, HF, and HG meets it, therefore HK is at right angles to each of the straight lines HE, HF, and HG.

I.4

And, since AC equals HK, and CD equals HE, and they contain right angles, therefore the base DA equals the base KE. For the same reason each of the straight lines KF and KG also equals DA. Therefore the three straight lines KE, KF, and KG equal one another.

Euclid's Elements Book XIII - Proposition 12

Proposition 12

If an equilateral triangle is inscribed in a circle, then the square on the side of the triangle is triple the square on the radius of the circle.

Let ABC be a circle, and let the equilateral triangle ABC be inscribed in it.

I say that the square on one side of the triangle ABC is triple the square on the radius of the circle.

III.1

Take the center D of the circle ABC, join AD and carry it through to E, and join BE.

IV.15,Cor.

Then, since the triangle ABC is equilateral, therefore the circumference BEC is a third part of the circumference of the circle ABC. Therefore the circumference BE is a sixth part of the circumference of the circle. Therefore the straight line BE belongs to a hexagon. Therefore it equals the radius DE.

And, since AE is double DE, therefore the square on AE is quadruple the square on ED, that is, of the square on BE.

III.31
I.47

But the square on AE equals the sum of the squares on AB and BE. Therefore the sum of the squares on AB and BE is quadruple the square on BE.

Therefore, taken separately, the square on AB is triple the square on BE. But BE equals DE, therefore the square on AB is triple the square on DE.

Therefore the square on the side of the triangle is triple the square on the radius.

Therefore, if an equilateral triangle is inscribed in a circle, then the square on the side of the triangle is triple the square on the radius of the circle.

Q.E.D.

Πηγή: aleph0.clarku.edu

Euclid's Elements Book XIII - Proposition 11

Proposition 11

If an equilateral pentagon is inscribed in a circle which has its diameter rational, then the side of the pentagon is the irrational straight line called minor.

In the circle ABCDE which has its diameter rational let the equilateral pentagon ABCDE be inscribed.

I say that the side of the pentagon is the irrational straight line called minor.

III.1
VI.9

Take the center F of the circle, join AF and FB and carry them through to the points G and H, join AC, and make FK a fourth part of AF.

Now AF is rational, therefore FK is also rational. But BF is also rational, therefore the whole BK is rational.

And, since the circumference ACG equals the circumference ADG, and in them ABC equals AED, therefore the remainder CG equals the remainder GD.

Euclid's Elements Book XIII - Proposition 10

Proposition 10

If an equilateral pentagon is inscribed in a circle, then the square on the side of the pentagon equals the sum of the squares on the sides of the hexagon and the decagon inscribed in the same circle.

Let ABCDE be a circle, and let the equilateral pentagon ABCDE be inscribed in the circle ABCDE.

I say that the square on the side of the pentagon ABCDE equals the sum of the squares on the side of the hexagon and on that of the decagon inscribed in the circle ABCDE.

III.1
I.12

Take the center F of the circle, join AF and carry it through to the point G, and join FB. Draw FH from F perpendicular to AB and carry it through to K, join AK and KB, draw FL from F perpendicular to AK, carry it through to M, and join KN.

Since the circumference ABCG equals the

Euclid's Elements Book XIII - Proposition 9

Proposition 9

If the side of the hexagon and that of the decagon inscribed in the same circle are added together, then the whole straight line has been cut in extreme and mean ratio, and its greater segment is the side of the hexagon.

Let ABC be a circle, and of the figures inscribed in the circle ABC let BC be the side of a decagon, and CD that of a hexagon, and let them be in a straight line.

I say that the whole straight line BD is cut in extreme and mean ratio, and CD is its greater segment.

III.1

Take the center E of the circle, join EB, EC, and ED, and carry BE through to A.

Since BC is the side of an equilateral decagon, therefore the circumference ACB is five times the circumference BC. Therefore the circumference AC is quadruple CB.

VI.33

But the circumference AC is to CB as the angle AEC is to the angle CEB. Therefore the angle AEC is quadruple the angle CEB.

I.5
I.32

And, since the angle EBC equals the angle ECB, therefore the angle AEC is double the angle ECB.

Euclid's Elements - Book XIII - Proposition 7

Proposition 7

If three angles of an equilateral pentagon, taken either in order or not in order, are equal, then the pentagon is equiangular.

First, let three angles A, B, and C taken in order in the equilateral pentagon ABCDE be equal to one another.

I say that the pentagon ABCDE is equiangular.

Join AC, BE, and FD.

I.4

Now, since the two sides CB and BA equal the two sides BA and AE respectively, and the angle CBA equals the angle BAE, therefore the base AC equals the base BE, the triangle ABC equals the triangle ABE,and the remaining angles equal the remaining angles, namely those opposite the equal sides, that is, the angle BCA equals the angle BEA, and the

Euclid's Elements - Book XIII - Proposition 5

Proposition 5

If a straight line is cut in extreme and mean ratio, and a straight line equal to the greater segment is added to it, then the whole straight line has been cut in extreme and mean ratio, and the original straight line is the greater segment.

Let the straight line AB be cut in extreme and mean ratio at the point C, let AC be the greater segment, and let AD be equal to AC.

I say that the straight line DB is cut in extreme and mean ratio at A, and the original straight line AB is the greater segment.

I.46

Describe the square AE on AB, and draw the figure.

I.Def.3, VI.17

Since AB is cut in extreme and mean ratio at C, therefore the rectangle AB by BC equals the square on AC.

Euclid's Elements - Book XIII - Proposition 3

Proposition 3

If a straight line is cut in extreme and mean ratio, then the square on the sum of the lesser segment and the half of the greater segment is five times the square on the half of the greater segment.

Cut any straight line AB in extreme and mean ratio at the point C, and let AC be the greater segment. Bisect AC at D.

I say that the square on BD is five times the square on DC.

I.46

Describe the square AE on AB, and draw the figure.

Since AC is double DC, therefore the square on AC is quadruple the square on DC, that is, RS is quadruple FG.

Euclid's Elements - Book XIII - Proposition 2

Proposition 2

If the square on a straight line is five times the square on a segment on it, then, when the double of the said segment is cut in extreme and mean ratio, the greater segment is the remaining part of the original straight line.

Let the square on the straight line AB be five times the square on the segment AC of it, and let CD be double AC.

I say that, when CD is cut in extreme and mean ratio, then the greater segment is CB.

I.46

Describe the squares AF and CG on AB and CD respectively, draw the figure in AF, and draw BE through.

Now, since the square on BA is five times the square on AC, therefore AF is five times AH. Therefore the gnomon MNO is quadruple AH.

Euclid's Elements - Book XIII - Proposition 1

If a straight line is cut in extreme and mean ratio, then the square on the greater segment added to the half of the whole is five times the square on the half.

Proof

Let the straight line AB be cut in extreme and mean ratio at the point C, and let AC be the greater segment. Produce the straight line AD in a straight line with CA, and make AD half of AB.

I say that the square on CD is five times the square on AD.

Describe the squares AE and DF on AB and DC, draw the figure in DF, and carry FC through to G.

Now, since AB is cut in extreme and mean ratio at C, therefore the rectangle AB by BC equals the square on AC. And CE is the rectangle AB by BC, and FH is the square on AC, therefore CE equals FH.

Ο Ευκλείδης ένα μυθικό πρόσωπο και τα «Στοιχεία της Γεωμετρίας» ένα συλλογικό έργο;

Οι ιστορικοί των μαθηματικών ομοφωνούν, ότι το έργο Στοιχεία, του οποίο αποδίδεται στον Ευκλείδη και εικάζεται ότι γράφηκε στην Αλεξάνδρεια τον 3ο π.Χ. αιώνα αποτελεί την επιτομή των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών. 

Τα Στοιχεία αποτελούνται από 13 βιβλία, τα οποία περιλαμβάνουν την επίπεδη γεωμετρία, μια γεωμετρική προσέγγιση της θεωρίας των αριθμών, μια μελέτη των λόγων ασύμμετρων μεγεθών και τη γεωμετρία των τρισδιάστατων σωμάτων.

▪ Τα "Στοιχεία" του Ευκλείδη. Ολόκληρο το κείμενο του Heiberg!

"Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ᾿ ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ᾿ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες."

Το παραπάνω απόσπασμα θα το βρείτε στη σελίδα 7 του βιβλίου που υπάρχει πιο κάτω. Σίγουρα δεν είναι μια "όποια κι όποια" μαθηματική πρόταση. Είναι το διάσημο και αμφιλεγόμενο 5ο (ε') Αίτημα (Αξίωμα) του Ευκλείδη από το Βιβλίο 1 των Στοιχείων. Η "κότα που έκανε τα χρυσά αυγά" που έφτιαξαν την ομελέτα της σύγχρονης επιστήμης. Το: "Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μία και μόνη παράλληλος σ'αυτή" που μαθαίνουμε στο σχολειό. Ναι, ο Ευκλείδης ΔΕΝ έγραψε ποτέ αυτό που μαθαίνουμε στο σχολειό. Μαθαίνουμε δηλαδή την απολύτως ισοδύναμη πρόταση, την οποία οφείλουμε στον μαθηματικό Playfair ο οποίος απέδειξε την ισοδυναμία της πρωτότυπης διατύπωσης του Ευκλείδη με τη δεύτερη.

To κείμενο που ακολουθεί δεν είναι, έτσι κι αλλιώς, ένα "όποιο κι όποιο" κείμενο.

Είναι ίσως το θεμελιώδες και εραλδικό κείμενο του αποκαλούμενου "Δυτικού πολιτισμού", το βιβλίο που αναπαράχθηκε, αντιγράφτηκε και διαδόθηκε περισσότερο από οποιοδήποτε άλλο στην Ιστορία και αποτέλεσε και αποτελεί έναν θεμελιώδη λίθο στην  παγκόσμια εκπαίδευση και σκέψη. Είναι τα "Στοιχεία" του Ευκλείδη.

Τα Στοιχεία

▪ Στοιχεία Ευκλείδη: Τα 13 βιβλία

Introduction

▪ Ισόπλευρο τρίγωνο

Μία απόδειξη από τα στοιχεία του Ευκλείδη.

▪ Στοιχεία Ευκλείδη - Βιβλίο α', πρόβλημα ιγ΄

Β ι β λ ί ο ν αʹ
Π ρ ο β λ ή μ α τ α κ α ὶ
Θ ε ω ρ ή μ α τ α
__________________________________________________

     ιγʹ Π ρ ό β λ η μ α

Ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου, ὃ μή ἐστιν ἐπ' αὐτῆς, κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. 

Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἄπειρος ἡ ΑΒ τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον, ὃ μή ἐστιν ἐπ' αὐτῆς, τὸ Γ· δεῖ δὴ ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ, ὃ μή ἐστιν ἐπ' αὐτῆς, κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.

Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τῆς ΑΒ εὐθείας τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ κέντρωι μὲν τῶι Γ διαστήματι δὲ τῶι ΓΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΖΗ, καὶ τετμήσθω ἡ ΕΗ εὐθεῖα δίχα κατὰ τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΗ, ΓΘ, ΓΕ εὐθεῖαι· λέγω, ὅτι ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ, ὃ μή ἐστιν ἐπ' αὐτῆς, κάθετος ἦκται ἡ ΓΘ. 

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΘ τῆι ΘΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΘΓ, δύο δὴ αἱ ΗΘ, ΘΓ δύο ταῖς ΕΘ, ΘΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέραι· καὶ βάσις ἡ ΓΗ βάσει τῆι ΓΕ ἐστιν ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΘΗ γωνίαι τῆι ὑπὸ ΕΘΓ ἐστιν ἴση. καί εἰσιν ἐφεξῆς. ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῆι, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται ἐφ' ἣν ἐφέστηκεν. 

Ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ, ὃ μή ἐστιν ἐπ' αὐτῆς, κάθετος ἦκται ἡ ΓΘ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Πηγή: BIBLIOTHECA AUGUSTANA

▪ Στοιχεία Ευκλείδη - Βιβλίο α', πρόβλημα ιβ΄

Β ι β λ ί ο ν αʹ
Π ρ ο β λ ή μ α τ α κ α ὶ
Θ ε ω ρ ή μ α τ α
__________________________________________________

     ιβʹ Π ρ ό β λ η μ α

Ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου, ὃ μή ἐστιν ἐπ' αὐτῆς, κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. 

Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἄπειρος ἡ ΑΒ τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον, ὃ μή ἐστιν ἐπ' αὐτῆς, τὸ Γ· δεῖ δὴ ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ, ὃ μή ἐστιν ἐπ' αὐτῆς, κάθετον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν.

Εἰλήφθω γὰρ ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη τῆς ΑΒ εὐθείας τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ κέντρωι μὲν τῶι Γ διαστήματι δὲ τῶι ΓΔ κύκλος γεγράφθω ὁ ΕΖΗ, καὶ τετμήσθω ἡ ΕΗ εὐθεῖα δίχα κατὰ τὸ Θ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΗ, ΓΘ, ΓΕ εὐθεῖαι· λέγω, ὅτι ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ, ὃ μή ἐστιν ἐπ' αὐτῆς, κάθετος ἦκται ἡ ΓΘ. 

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΗΘ τῆι ΘΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΘΓ, δύο δὴ αἱ ΗΘ, ΘΓ δύο ταῖς ΕΘ, ΘΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέραι· καὶ βάσις ἡ ΓΗ βάσει τῆι ΓΕ ἐστιν ἴση· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΓΘΗ γωνίαι τῆι ὑπὸ ΕΘΓ ἐστιν ἴση. καί εἰσιν ἐφεξῆς. ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῆι, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν, καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται ἐφ' ἣν ἐφέστηκεν. 

Ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν ἄπειρον τὴν ΑΒ ἀπὸ τοῦ δοθέντος σημείου τοῦ Γ, ὃ μή ἐστιν ἐπ' αὐτῆς, κάθετος ἦκται ἡ ΓΘ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Πηγή: BIBLIOTHECA AUGUSTANA

▪ Στοιχεία Ευκλείδη - Βιβλίο α', πρόβλημα ια΄

Β ι β λ ί ο ν αʹ
Π ρ ο β λ ή μ α τ α κ α ὶ
Θ ε ω ρ ή μ α τ α
__________________________________________________

     ιαʹ Π ρ ό β λ η μ α

Τῆι δοθείσηι εὐθείαι ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῆι δοθέντος σημείου πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. 

Ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ τὸ δὲ δοθὲν σημεῖον ἐπ' αὐτῆς τὸ Γ· δεῖ δὴ ἀπὸ τοῦ Γ σημείου τῆι ΑΒ εὐθείαι πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. 

Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΓ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ κείσθω τῆι ΓΔ ἴση ἡ ΓΕ, καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς ΔΕ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΖΔΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΖΓ· λέγω, ὅτι τῆι δοθείσηι εὐθείαι τῆι ΑΒ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῆι δοθέντος σημείου τοῦ Γ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΖΓ. 

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΔΓ τῆι ΓΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΓΖ, δύο δὴ αἱ ΔΓ, ΓΖ δυσὶ ταῖς ΕΓ, ΓΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέραι· καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῆι ΖΕ ἴση ἐστίν· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΓΖ γωνίαι τῆι ὑπὸ ΕΓΖ ἴση ἐστίν· καί εἰσιν ἐφεξῆς. ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῆι, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστιν· ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΔΓΖ, ΖΓΕ. 

Τῆι ἄρα δοθείσηι εὐθείαι τῆι ΑΒ ἀπὸ τοῦ πρὸς αὐτῆι δοθέντος σημείου τοῦ Γ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἦκται ἡ ΓΖ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Πηγή: BIBLIOTHECA AUGUSTANA

▪ Στοιχεία Ευκλείδη - Βιβλίο α', πρόβλημα ι΄

Β ι β λ ί ο ν αʹ
Π ρ ο β λ ή μ α τ α κ α ὶ
Θ ε ω ρ ή μ α τ α

__________________________________________________

     ιʹ Π ρ ό β λ η μ α

Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν πεπερασμένην δίχα τεμεῖν.

Ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ· δεῖ δὴ τὴν ΑΒ εὐθεῖαν πεπερασμένην δίχα τεμεῖν. 

Συνεστάτω ἐπ' αὐτῆς τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΑΒΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία δίχα τῆι ΓΔ εὐθείαι· λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ εὐθεῖα δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ σημεῖον. Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῆι ΓΒ, κοινὴ δὲ ἡ ΓΔ, δύο δὴ αἱ ΑΓ, ΓΔ δύο ταῖς ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέραι· καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΓΔ γωνίαι τῆι ὑπὸ ΒΓΔ ἴση ἐστίν· βάσις ἄρα ἡ ΑΔ βάσει τῆι ΒΔ ἴση ἐστίν. 

Ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα πεπερασμένη ἡ ΑΒ δίχα τέτμηται κατὰ τὸ Δ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Πηγή: BIBLIOTHECA AUGUSTANA

▪ Στοιχεία Ευκλείδη - Βιβλίο α', πρόβλημα η΄

Β ι β λ ί ο ν αʹ
Π ρ ο β λ ή μ α τ α κ α ὶ
Θ ε ω ρ ή μ α τ α
__________________________________________________

     ηʹ Θ ε ώ ρ η μ α

Ἐὰν δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς [ταῖς] δύο πλευραῖς ἴσας ἔχηι ἑκατέραν ἑκατέρα, ἔχηι δὲ καὶ τὴν βάσιν τῆι βάσει ἴσην, καὶ τὴν γωνίαν τῆι γωνίαι ἴσην ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην. 

Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τὰς δύο πλευρὰς τὰς ΑΒ, ΑΓ ταῖς δύο πλευραῖς ταῖς ΔΕ, ΔΖ ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέραι, τὴν μὲν ΑΒ τῆι ΔΕ τὴν δὲ ΑΓ τῆι ΔΖ· ἐχέτω δὲ καὶ βάσιν τὴν ΒΓ βάσει τῆι ΕΖ ἴσην· λέγω, ὅτι καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαι τῆι ὑπὸ ΕΔΖ ἐστιν ἴση. 

Ἐφαρμοζομένου γὰρ τοῦ ΑΒΓ τριγώνου ἐπὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον καὶ τιθεμένου τοῦ μὲν Β σημείου ἐπὶ τὸ Ε σημεῖον τῆς δὲ ΒΓ εὐθείας ἐπὶ τὴν ΕΖ ἐφαρμόσει καὶ τὸ Γ σημεῖον ἐπὶ τὸ Ζ διὰ τὸ ἴσην εἶναι τὴν ΒΓ τῆι ΕΖ· ἐφαρμοσάσης δὴ τῆς ΒΓ ἐπὶ τὴν ΕΖ ἐφαρμόσουσι καὶ αἱ ΒΑ, ΓΑ ἐπὶ τὰς ΕΔ, ΔΖ. εἰ γὰρ βάσις μὲν ἡ ΒΓ ἐπὶ βάσιν τὴν ΕΖ ἐφαρμόσει, αἱ δὲ ΒΑ, ΑΓ πλευραὶ ἐπὶ τὰς ΕΔ, ΔΖ οὐκ ἐφαρμόσουσιν ἀλλὰ παραλλάξουσιν ὡς αἱ ΕΗ, ΗΖ, συσταθήσονται ἐπὶ τῆς αὐτῆς εὐθείας δύο ταῖς αὐταῖς εὐθείαις ἄλλαι δύο εὐθεῖαι ἴσαι ἑκατέρα ἑκατέραι πρὸς ἄλλωι καὶ ἄλλωι σημείωι ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη τὰ αὐτὰ πέρατα ἔχουσαι. οὐ συνίστανται δέ· οὐκ ἄρα ἐφαρμοζομένης τῆς ΒΓ βάσεως ἐπὶ τὴν ΕΖ βάσιν οὐκ ἐφαρμόσουσι καὶ αἱ ΒΑ, ΑΓ πλευραὶ ἐπὶ τὰς ΕΔ, ΔΖ. ἐφαρμόσουσιν ἄρα· ὥστε καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΒΑΓ ἐπὶ γωνίαν τὴν ὑπὸ ΕΔΖ ἐφαρμόσει καὶ ἴση αὐτῆι ἔσται. 

Ἐὰν ἄρα δύο τρίγωνα τὰς δύο πλευρὰς [ταῖς] δύο πλευραῖς ἴσας ἔχηι ἑκατέραν ἑκατέραι καὶ τὴν βάσιν τῆι βάσει ἴσην ἔχηι, καὶ τὴν γωνίαν τῆι γωνίαι ἴσην ἕξει τὴν ὑπὸ τῶν ἴσων εὐθειῶν περιεχομένην· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Πηγή: BIBLIOTHECA AUGUSTANA

▪ Στοιχεία Ευκλείδη - Βιβλίο α', πρόβλημα θ΄

Β ι β λ ί ο ν αʹ
Π ρ ο β λ ή μ α τ α κ α ὶ
Θ ε ω ρ ή μ α τ α
__________________________________________________

     θʹ Π ρ ό β λ η μ α

Τὴν δοθεῖσαν γωνίαν εὐθύγραμμον δίχα τεμεῖν.

Ἔστω ἡ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ. δεῖ δὴ αὐτὴν δίχα τεμεῖν. Εἰλήφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ τυχὸν σημεῖον τὸ Δ, καὶ ἀφηιρήσθω ἀπὸ τῆς ΑΓ τῆι ΑΔ ἴση ἡ ΑΕ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΔΕ, καὶ συνεστάτω ἐπὶ τῆς ΔΕ τρίγωνον ἰσόπλευρον τὸ ΔΕΖ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΖ· λέγω, ὅτι ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας. 

Ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῆι ΑΕ, κοινὴ δὲ ἡ ΑΖ, δύο δὴ αἱ ΔΑ, ΑΖ δυσὶ ταῖς ΕΑ, ΑΖ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέραι. καὶ βάσις ἡ ΔΖ βάσει τῆι ΕΖ ἴση ἐστίν· γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΔΑΖ γωνίαι τῆι ὑπὸ ΕΑΖ ἴση ἐστίν. 

Ἡ ἄρα δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ ὑπὸ ΒΑΓ δίχα τέτμηται ὑπὸ τῆς ΑΖ εὐθείας· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
Πηγή: BIBLIOTHECA AUGUSTANA