Εξίσωση-Πρόκληση: Βρες το 'x'!

Να λυθεί η εξίσωση:

 

Σάρωση για να αποθηκεύσετε ή να κοινοποιήσετε την ανάρτηση

Οκτώ Διοφαντικές εξισώσεις

Να λυθούν οι εξισώσεις:

$$\begin{array}{rlcrl}(i)& 5x+3y=8z-2& & & \\ (ii)& 2^x=3+13y& & & \\ (iii)& x^2-xy+2x-3y=11& & & \\ (iv)& 2x^3-x^{2}y+x^2+14x-7y+40=0& & & \\ (v)& (x-2{)}^4=(y+3{)}^5& & & \\ (vi)& \sqrt{x}=1+\sqrt{y}& & & \\ (vii)& 2xy+3y^2=24& & & \\ (viii)& x^2{y}^2+x^{2}y+x{y}^2+xy=xyz-1& & & \end{array}$$

Ο Όρκος που Παραβιάστηκε: Η Δραματική Ιστορία του Cardano και του Tartaglia

Η διαμάχη μεταξύ του Girolamo Cardano και του Niccolò Tartaglia είναι μια από τις πιο συναρπαστικές ιστορίες στην ιστορία των μαθηματικών — γεμάτη μυστικά, όρκους, φιλοδοξία και ηθικά διλήμματα. Βρίσκεται στο επίκεντρο της ανακάλυψης της μεθόδου επίλυσης κυβικών εξισώσεων κατά τον 16ο αιώνα, ένα πρόβλημα που απασχολούσε τους μαθηματικούς για αιώνες.

---

Ιστορικό Πλαίσιο

Στην Ιταλία του 16ου αιώνα, οι μαθηματικοί συχνά μονομαχούσαν δημόσια με προβλήματα για να αποδείξουν την ανωτερότητά τους. Οι κυβικές εξισώσεις, δηλαδή εξισώσεις της μορφής:

📚 Σχέδιο Μαθήματος: Επίλυση Εξίσωσης 2ου βαθμού ax2+bx+c=0

Επίπεδο: Γυμνάσιο (13–15 ετών)

Διάρκεια: 1 διδακτική ώρα ⏳

---

🎯 Στόχοι Μαθήματος

• Οι μαθητές να κατανοήσουν τη διαδικασία επίλυσης εξισώσεων 2ου βαθμού.

• Να μπορούν να εφαρμόζουν τη μέθοδο της ολοκλήρωσης του τετραγώνου και τη διακρίνουσα.

• Να αναπτύξουν δεξιότητες επίλυσης μαθηματικών προβλημάτων.

Visualizing the way to see complex roots of a quadratic equation (Geogebra)

Εύρεση ριζών εξίσωσης

Δίνονται οι διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί $a_1,a_2,a_3$​ και $b$. Δεδομένου ότι η εξίσωση: 

$(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)=b$ 

έχει τρεις διαφορετικές πραγματικές ρίζες $c_1,c_2,c_3$, να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης:

$(x+c_1)(x+c_2)(x+c_3)=b.$

Kvant 2023,3

Κλασματική και εκθετική

Να λυθεί η εξίσωση:

 

Απόδειξη Ιδιότητας των Ριζών Τριωνύμου

Η εξίσωση $a{x}^2+bx-a=0$ έχει ρίζες $x_1$ και $x_2$. Να αποδείξετε ότι $${\displaystyle \frac{x_1^2+1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{x_2^2+1}{x_2}}=0(a\ne 0).$$

Η Μέθοδος του Picard για την Επίλυση Εξισώσεων

Η επίλυση της εξίσωσης:

$f(x)=0$

είναι ισοδύναμη με την εύρεση λύσης της εξίσωσης:

$g(x)=f(x)+x=x$,

η οποία προκύπτει αν προσθέσουμε το xx κατά μέλη στην αρχική εξίσωση. Με αυτή τη διαδικασία, φέρνουμε την εξίσωση σε μια μορφή κατάλληλη για επίλυση με υπολογιστή, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Picard.

Εύρεση Θετικών Ακέραιων Λύσεων

 

Η Δύναμη των Εκθετών: Βρίσκοντας το r

 

Ζεύγη Θετικών Ακεραίων

 

[21] - Equations for and from Math Contests

 

Αναζήτηση Θετικών Ακέραιων Λύσεων για την Εξίσωση

Να βρεθούν όλα τα ζεύγη των ακεραίων θετικών ακεραίων αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση:

 

[20] - Equations for and from Math Contests

Nα λυθεί η εξίσωση: $$x^2+\frac{1}{x}+7(x+1)=8\sqrt{2(x^2+1)}.$$

[19] - Equations for and from Math Contests

 

[18] - Equations for and from Math Contests

Λύστε την εξίσωση $$\frac{12}{\sqrt{x-8}+9}+\frac{7}{\sqrt{x-8}+4}+\frac{1}{\sqrt{x-8}-4}+\frac{6}{\sqrt{x-8}-9}=0.$$

Μία προκλητική εξίσωση

Η πιο δύσκολη ερώτηση για τις εισαγωγικές εξετάσεις του Χάρβαρντ

Το $95\mathrm{\%}$ απέτυχε να απαντήσει σωστά.

Μπορείτε να το λύσετε;

Εύρεση Λύσεων Άρρητης Εξίσωσης

Να λυθεί η εξίσωση: