Προσκυνούμεν σου τα Πάθη, Χριστέ. Δείξον ημίν και την ένδοξόν σου Ανάστασιν

 

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Προτεινόμενα θέματα από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία [20]

Έστω η συνεχής συνάρτηση $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο ${\mathbb{R}}^{\ast }$ και ικανοποιεί τη σχέση: $$f^{\prime }(x)=\frac{e^x-f(x)}{x}\text{για κάθε }x\in {\mathbb{R}}^{\ast }$$

Να αποδείξετε ότι: 

α) $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{e^x-1}{x}},& x\ne 0\\ 1,& x=0\end{array}$ 

β) Η συνάρτηση $f$ είναι παραγωγίσιμη στο $x_0=0$ και ότι η ευθεία $(ϵ)$ με εξίσωση $y={\displaystyle \frac{1}{2}}x+1$ εφάπτεται της γραφικής παράστασης $C_f$ της συνάρτησης $f$ στο κοινό σημείο με τον άξονα $y^{\prime }y$. 

γ) Η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$. 

δ) Η συνάρτηση $f$ είναι κυρτή στο $\mathbb{R}$. 

A Geometric Mean Sangaku

Squares and circles are inscribed in successive right triangles. 

What is the relation between the radii of the circles?

Solution

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Όλα τα θέματα των Πανελλαδικών Εξετάσεων ομαδοποιημένα 2016 -2024

Τα θέματα των πανελλαδικών εξετάσεων από το 2016 και μετά ομαδοποιημένα σε Β’, Γ’ και Δ’ θέματα.

Πανελλαδικές Εξετάσεις 

• Β’ θέματα πανελλαδικών εξετάσεων κανονικής περιόδου.
• Γ’ θέματα πανελλαδικών εξετάσεων κανονικής περιόδου.
• Δ’ θέματα πανελλαδικών εξετάσεων κανονικής περιόδου.

Επαναληπτικές Πανελλαδικές Εξετάσεις 

• Β’ θέματα πανελλαδικών εξετάσεων επαναληπτικής περιόδου.
• Γ’ θέματα πανελλαδικών εξετάσεων επαναληπτικής περιόδου.
• Δ’ θέματα πανελλαδικών εξετάσεων επαναληπτικής περιόδου.

Ομαδοποιήση των Θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων

• Πράξεις, σύνθεση συναρτήσεων και αντίστροφη συνάρτηση.
• Ρυθμός μεταβολής.
• Θέματα με συναρτήσεις πολλαπλού τύπου.
• Εμβαδόν επίπεδου χωρίου.
• Γεωμετρικά ερωτήματα.

Πηγή: esiros

Όμορφο παζλ του Henry Dudeney

Αν μια σημαία του Αγίου Γεωργίου έχει διαστάσεις $4\times 3$ και περιέχει ίσες επιφάνειες κόκκινου και λευκού χρώματος, ποιο είναι το πλάτος των μερών του σταυρού;

Εμβαδόν της Μπλε Περιοχής

To μικρότερο από τα τρία τετράγωνα του παρακάτω σχήματος έχει εμβαδόν $7$. 

Να βρεθεί το εμβαδόν της χρωματισμένης επιφάνειας.

Viviani’s Theorem

Πόσες Μοίρες είναι η Γωνία AOB;

Οι ημιευθείες $OB$ και $OD$ τέμνονται κάθετα πάνω στην ευθεία $AC$. Δίνεται ότι $\widehat{COD}={45}^{\circ }$.

Με βάση τα παραπάνω, πόσες μοίρες είναι η γωνία $\widehat{AOB}$;

A) ${124}^{\circ }$ B) ${130}^{\circ }$ C) ${135}^{\circ }$ D) ${140}^{\circ }$ E) ${144}^{\circ }$