Τι δήλωση να κάνω ?

Έχω τρία βραβεία και υπόσχομαι ότι θα σου δώσω είτε το $Α$ είτε το $Β$ αν μου δώσεις μια αληθινή δήλωση και θα σου δώσω το $Γ$ αν μου κάνεις ψευδή δήλωση.

α) Τι δήλωση πρέπει να κάνετε αν θέλετε να πάρετε το βραβείο $Α$;

Τώρα φέρνω το βραβείο $Δ$ και σας υπόσχομαι ότι θα σας δώσω είτε το $Α$ είτε το $Β$ εάν μου δώσετε μια αληθινή δήλωση και θα σας δώσω το $Γ$ ή $Δ$ εάν μου δώσετε μια ψευδή δήλωση.

α) Τι δήλωση πρέπει να κάνετε αν θέλετε να πάρετε το βραβείο $ Γ$; 

β) Τι δήλωση πρέπει να κάνετε για να με κάνετε να μην μπορώ να τηρήσω την υπόσχεσή μου;

Τι είναι αξίωμα στα Μαθηματικά;

To αξίωμα ή αρχή στη λογική, είναι μια πρόταση η οποία δεν αποδεικνύεται, αλλά θεωρείται είτε προφανής, ή αποτέλεσμα κάποιας απόφασης. 

Έτσι, αξίωμα είναι μια λογική πρόταση, της οποίας η αλήθεια θεωρείται δεδομένη και χρησιμεύει ως αρχικό σημείο για την αναγωγή και το συμπέρασμα άλλων αληθών προτάσεων, ανάλογα με τη θεωρία που εφαρμόζεται.

Μαθηματική Λογική: Τυπικά συστήματα, τα Θεωρήματα του Gödel, Θεωρία Αποδείξεων

Kάντε κλικ στην εικόνα.

$3\ge 1$ ή $3>1$

Η πρώτη «διαβάζεται» $3$ μεγαλύτερο ή ίσο του $1$, δηλαδή

$3>1\quad\text{ή}\quad3=1$

η δεύτερη $3$ μεγαλύτερο του $1$.

Ποιο είναι το σωστό, κύριε;

Ερώτηση στο κενό

Σωστό ή Λάθος;

\[\big\{ \big\{∅\big\}\big\} ⊂ \big\{∅, \big\{∅\big\}\big\}\]

Κυριακόπουλος Κ. Αντώνης - Μαθηματική Λογική 1977 (2η έκδοση)

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πηγή

Βιβλία και εργασίες του μαθηματικού Αντώνη Κ. Κυριακόπουλου

Κάντε κλικ στην παρακάτω εικόνα και θα βρείτε συγκεντρωμένα τα βιβλία του μαθηματικού Αντώνη Κ. Κυριακόπουλου, τα

οποία μοιράστηκε με τους αγαπητούς φίλους Τάκη Χρονόπουλο (Αγάπη των Μαθηματικών) και Μάκη Χατζόπουλο (Μαθηματικές Σημειώσεις), με την πρόθεση να κοινοποιηθούν δημόσια προς όλους. 

"Όχι" πριν το "Ναι"

"To μυαλό του ανθρώπου λειτουργεί περισσότερο με τη διαίσθηση παρά με τη λογική ,και κατανοεί περισσότερα απ' αυτά που μπορεί να βάλει σε τάξη"

Luc de Clapiers (Vaunenargues) 

Ο ψιθυριστής ψιθυρίζει στο αυτί του Αντώνη έναν τυχαίο φυσικό αριθμό ν. Στο αυτί του Βασίλη ψιθυρίζει τον αριθμό ν+1. Και ο Αντώνης και ο Βασίλης ,πέραν του αριθμού που ακούει ο καθένας ,ενημερώνονται από τον ψιθυριστή ότι έχουν διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς, αλλά δεν γνωρίζουν αν ο αριθμός τους είναι ο προηγούμενος ή ο επόμενος. Ο ψιθυριστής ξεκινάει την εξής διαδικασία:

Tο παράδοξο του Επιμενίδη στον Δον Κιχώτη, και το νησί των τιμιαπατεώνων

"Κάλπασε ήρεμα, αφήνοντας στη διάθεση του αλόγου του να τον πάει στην κατεύθυνση που αυτό ήθελε, διότι πίστευε ακλόνητα ότι αυτή η αντίληψη αποτελούσε το ουσιαστικό νόημα της περιπέτειας."

Miguel de Cervantes (Δον Κιχώτης)

H ετυμολογία της λέξης "Παράδοξο" είναι προφανής . Παρά -(την)- Δόξα, δηλαδή αναφορά σε ό,τι είναι αντίθετο με τη γενική άποψη ,τα καθιερωμένα πιστεύω και τη λογική συνέπεια. Έχει περάσει σε όλες σχεδόν τις ευρωπαϊκές γλώσσες (Paradox,κ.λ.π) όπως και η συνώνυμή της λέξη "Αντινομία" (αυτό που αντίκειται στους νόμους της λογικής) επίσης,αλλά σε μικρότερο βαθμό.

▪ Διπλό Σκάκι

"H κρυμμένη αρμονία είναι καλύτερη απ'τη φανερή"

Ηράκλειτος

Το "διπλό" ή ακριβέστερα το "διπλοκίνητο" σκάκι είναι μια παραλλαγή του σκακιού, στην οποία απλώς ο κάθε παίκτης παίζει δύο κινήσεις διαδοχικά, αντί για μία. Ξεκινάει πρώτος πάντα ο Λευκός. Δείξτε ότι υπάρχει μια στρατηγική για τον Λευκό, η οποία του εξασφαλίζει τουλάχιστον την ισοπαλία!

Σημ. Αρκεί να αποδειχτεί η ύπαρξη μιας τέτοιας στρατηγικής.

▪Χρωματισμένα σημεία

"Igitur R.m.9 non est 3.p. nec m. sed quaedam tertia natura abscondita......
Quinquies exscriptus, maneat tot millibus annis"

"Ο αριθμός $\sqrt{−9}$ δεν είναι ούτε $3$ ούτε $-3$, αλλά κάποιο τρίτο είδος κρυμμένο (απόκρυφο)"

.....το αντέγραψα $5$ φορές και ελπίζω να ζήσει $5000$ χρόνια"

Girolamo Cardano "Ars Magna"

Είναι δυνατόν να αντιστοιχήσουμε σε κάθε σημείο του επιπέδου το χρώμα "κόκκινο" ή το χρώμα "πράσινο", με τέτοιον τρόπο ώστε το μέσον κάθε ευθύγραμμου τμήματος που έχει άκρα με το ίδιο χρώμα, να είναι του άλλου χρώματος;

▪ Gödel ∧ ¬Gödel

▪ Tεστ Αντοχής

Αποστολή μας είναι να διαπιστώσουμε την αντοχή ενός νέου σούπερ-ανθεκτικού τηλεφώνου.

Έχουμε 2 τηλέφωνα και έναν ουρανοξύστη 100 ορόφων από τον οποίο μπορούμε να ρίχνουμε το τηλέφωνο, από όποιον όροφο θέλουμε.

Το ζητούμενο είναι ποιο είναι το μεγαλύτερο ύψος (εκφρασμένο σε αριθμό ορόφων) από το οποίο το τηλέφωνο δεν σπάει π.χ μέχρι τον 30ο όροφο δεν σπάει, αν το ρίξουμε από τον 31ο, σπάει.

Αν σπάσουν και τα 2 τηλ. που έχουμε, πριν διαπιστώσουμε τον όροφο "αντοχής", αποτύχαμε.

Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός ρίψεων με τον οποίο προσδιορίζουμε σίγουρα το ύψος,και με ποια ακριβώς ακολουθία ρίψεων τον πετυχαίνουμε;

ΠΑΡΑΔΟΧΗ: To τηλέφωνο μπορεί να ριχτεί όσες φορές θέλουμε όσο δεν σπάει, χωρίς να εξασθενεί.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Αρκούν 14 ρίψεις, το πολύ. Αρχικά ρίχνουμε το πρώτο τηλ. από τον 14ο όροφο. Αν σπάσει μπορούμε με το δεύτερο τηλ. να προσδιορίσουμε τον όροφο σε ακόμη 13 το πολύ προσπάθειες ,ξεκινώντας από τον 1ο και ανεβαίνοντας έναν όροφο τη φορά.

Αν το πρώτο τηλέφωνο δεν σπάσει στην πτώση από τον 14, το ξαναρίχνουμε από τον 27ο (14+13=27).Αν σπάσει ,προσδιορίζουμε τον ενδιάμεσο όροφο με άλλες 12 το πολύ ακόμη ρίψεις.

Αν δεν σπάσει στην πτώση από τον 27ο το ξαναρίχνουμε από τον 39ο. (14+13+12)......ενδιαμέσως το πολύ άλλες 11 ρίψεις.

Και η διαδικασία επαναλαμβάνεται , συνεχώς πηγαίνοντας έναν όροφο μείον απότι στην τελευταία ρίψη, έως ότου σπάσει το πρώτο τηλέφωνο. 

Αν γενικά σπάσει στη ν-οστή ρίψη θα χρειαζόμαστε ακόμη το πολύ 14-ν ρίψεις με το δεύτερο τηλέφωνο.

Αν φτάσουμε (για πολύ ανθεκτικά τηλέφωνα..) στην 11η επανάληψη της διαδικασίας θα είμαστε στον 99ο όροφο.

Μαθ.εξήγηση: 1+2+3+4+...+14=105 

▪ Πρόβλημα Λογικής

1.Κάποιοι μαθηματικοί είναι φιλόσοφοι

2.Οι Αθάνατοι έχουν άγνοια Φιλοσοφίας

3.Κανένας ποιητής δεν κατέχει Μαθηματικά

4.Όλοι οι θνητοί είναι ποιητές.

Είναι οι 4 προτάσεις λογικώς συμβατές μεταξύ τους; 

Εισήγηση Ημερίδας Μαθηματικών (Βέροια 20/02/2011) - Η σωστή χρήση των συμβόλων «συνεπάγεται» και «ισοδυναμίας»

 του Νίκου Ιωσηφίδη 

▪ Το Λεξιλόγιο της Λογικής: Ερωτήσεις κατανόησης

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ

Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α και β. Διαφορετικά να κυκλώσετε το γράμμα Ψ. 1. $α^2 = 9 => α = 3$                          Α Ψ 2. $α^2 = α <=> α = 1$                       Α Ψ 3. $α^2 ≠ α => α ≠ 1$                          Α Ψ 4. $α ≠ 2 <=> α^2 ≠ 4$                       Α Ψ 5. $α > 2 => α^2 > 4$                          Α Ψ 6. $α < 2 => α^2 < 4$                          Α Ψ 7. $α^2 < 4 => α < 2$                          Α Ψ 8. $α^2 > 4 => α > 2$                          Α Ψ 9. $α < 2$ και $β < 3 => α · β < 6$       Α Ψ II. Να αντιστοιχίσετε καθένα από τους ισχυρισμούς της ομάδας Α' με τον ισοδύναμό του ισχυρισμό από τη ομάδα Β'. Α΄ ΟΜΑΔΑ                                     Β΄ ΟΜΑΔΑ 1. $x(x - 2) = 0$                              Α. $x ≠ 0$ και $x ≠ 2$ 2. $x(x - 2) ≠ 0$                              Β. $x = 2$ 3. $x^2 = 4$                                        Γ. $x = -2$ ή $x = 2$ 4. $x^2 = 4$ και $x < 0$                        Δ. $x = 0$ 5. $x(x-2) = 0$ και $x(x-1) = 0$   Ε. $x = 0$ ή $x = 2$ 6. $x^2 = 4$ και $x > 0$                        Ζ. $x = -2$

Από το σχολικό βιβλίο της Άλγεβρας, της Α΄ Λυκείου.
Κάντε κλικ εδώ, για να δείτε τις απαντήσεις.

▪Θεμελιώδεις νόμοι της Λογικής

Η τυπική λογική κατά τον Αριστοτέλη περιγράφετε μέσα από τέσσερις θεμελιώδεις νόμους.

- Ο νόμος της ταυτότητας:

Κάθε έννοια πρέπει να είναι ταυτόσημη με τον εαυτό της, δηλαδή σε κάθε κρίση και σε κάθε συλλογισμό η έννοια πρέπει να χρησιμοποιείται με μια μόνο αλλά και την ίδια πάντα σημασία, (το αντίστοιχο της ανακλαστικής ιδιότητας στα μαθηματικά (Α = Α).

- Ο νόμος της αντίφασης:

Σύμφωνα με αυτόν το νόμο κάθε έννοια δεν μπορεί να αντιφάσκει με τον εαυτό της, να είναι δηλαδή συγχρόνως ίδιο και όχι ίδιο με τον εαυτό της, (Το Α δεν μπορεί να είναι συγχρόνως Α και όχι Α) γιατί δύο έννοιες όπου η μία βεβαιώνει κάτι για ένα πράγμα και η άλλη αρνείται αυτό το κάτι, είναι αντιφατικές και δεν μπορεί να είναι ταυτόχρονα και οι δύο αληθινές.

▪ Η ισοδυναμία ή διπλή συνεπαγωγή

Ας θεωρήσουμε τις γνωστές μας από το Γυμνάσιο συνεπαγωγές:

α = β ⇒ $α^2 = β^2$    (1)

και 

α = β ⇒ α + γ = β + γ     (2), 

που ισχύουν για όλους τους πραγματικούς α, β και γ. 

Παρατηρούμε ότι:

▪ Για την πρώτη συνεπαγωγή, δεν ισχύει το αντίστροφο. Δηλαδή δεν ισχύει η συνεπαγωγή

 $α^2 = β^2$ ⇒ α = β για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α και β, αφού για παράδειγμα είναι $(-3)^2 = 3^2$, ενώ -3 ≠ 3.

▪ Για τη δεύτερη, όμως, συνεπαγωγή ισχύει και το αντίστροφο. Δηλαδή για όλους τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ισχύει και η συνεπαγωγή: 

α + γ = β + γ ⇒ α = β

Γι’ αυτό λέμε ότι οι δύο ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι και γράφουμε:

     α = β ⇔ α + γ = β + γ.

Γενικά:

Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P, να αληθεύει και ο Q και όταν αληθεύει ο Q, να αληθεύει και ο P, τότε λέμε ότι ο P συνεπάγεται τον Q και αντιστρόφως ή, αλλιώς, ότι ο P είναι ισοδύναμος με τον Q και γράφουμε P ⇔ Q .

Ο ισχυρισμός « P ⇔ Q » λέγεται ισοδυναμία και αρκετές φορές διαβάζεται «P αν και μόνο αν Q».

Από το σχολικό βιβλίο της Α΄ Λυκείου.

▪ Ο σύνδεσμος «και»

Γνωρίζουμε ότι:

«Το γινόμενο δύο πραγματικών αριθμών α και β είναι διάφορο του μηδενός, αν και μόνον αν και οι δύο αριθμοί α και β είναι διάφοροι του μηδενός».

Για να δηλώσουμε ότι και οι δύο αριθμοί α και β είναι διάφοροι του μηδενός γράφουμε

α ≠ 0 και β ≠ 0

Έτσι, έχουμε την ισοδυναμία

α · β ≠ 0 ⇔ α ≠ 0 και β ≠ 0

Γενικά:

Αν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί, τότε ο ισχυρισμός P και Q αληθεύει μόνο στην περίπτωση που και οι δύο ισχυρισμοί αληθεύουν.

Ο ισχυρισμός «P και Q» λέγεται σύζευξη των P και Q .

Από το σχολικό βιβλίο της Α΄ Λυκείου.

▪ Σερβιτόρος με λογική

Έξι καθηγητές της Λογικής που εφαρμόζουν στην καθημερινότητα τους κατά γράμμα όσα διδάσκουν, δειπνούν σε ένα εστιατόριο.

Όταν τελειώνουν το φαγητό, ο σερβιτόρος απευθυνόμενος και στους 6 τους ρωτάει: θέλετε όλοι καφέ;

Ο 1ος απάντησε: Δεν ξέρω.

Ο 2ος απάντησε: Δεν ξέρω.

Ο 3ος απάντησε: Δεν ξέρω.

Ο 4ος απάντησε: Δεν ξέρω.

Ο 5ος απάντησε: Δεν ξέρω.

Ο 6ος απάντησε: Όχι δεν θέλω.

Σε ποιον θα φέρει καφέ ο σερβιτόρος και γιατί;
Πηγή: dimitris-ver